应用拓扑讲义整理 Chapter 6. 单纯复形（Simplicial Complexes）

Chapter 6. 单纯复形

6.1 单纯复形的基本概念

6.1.1 仿射空间

Definition 6.1（仿射空间）仿射空间是一个三元组 \((E, \overrightarrow E, +)\)，其中 \(E\) 是点集，\(\overrightarrow E\) 是由自由向量或转移组成的线性空间，\(+: E\times \overrightarrow E \to E\) 满足

\[\begin{aligned} \forall a\in E, & a+\mathbf 0 = a, \\ \forall a\in E, \forall u, v\in\overrightarrow E, & (a+u) + v = a + (u+v), \\ \forall a,b\in E, \exists! u\in \overrightarrow E, & \text{s.t. } a+u = b, \end{aligned} \]

其中 \(\mathbf 0\) 是零向量，第三式中的 \(u\) 记为 \(u = \overrightarrow{ab}\)。

Definition 6.2（自然仿射结构）线性空间 \(\overrightarrow E\) 上的自然仿射结构是 \((\overrightarrow E, \overrightarrow E, +)\)，其中 \(+\) 是线性空间中的加法运算。

Definition 6.3（实仿射空间）\(n\) 阶实仿射空间是线性空间 \(\mathbb R^n\) 上的自然仿射空间

\[\mathbb A^n := (\mathbb R^n, \mathbb R^n, +). \]

Example 6.4 对直线

\[L = \{(x,y)\in \mathbb R^2: x+y-1=0\}, \]

定义 \(+: L\times \mathbb R\to L\) 为

\[\forall u\in \mathbb R, (x, 1-x) + u = (x+u, 1-x-u), \]

则三元组 \((L, \mathbb R, +)\) 是仿射空间。

Example 6.5 对抛物面

\[P = \{(x,y,z)\in \mathbb R^3: x^2+y^2-z=0\}, \]

定义 \(+: P\times \mathbb R^2\to P\) 为

\[(x, y, x^2+y^2) + (u, v)^T = (x+u, y+v, (x+u)^2+(y+v)^2), \]

则三元组 \((P, \mathbb R^2, +)\) 是仿射空间。这里行向量都表示点而列向量都表示向量。

Exercise 6.6 对 \(A\in \mathbb R^{m\times n}\) 和 \(\mathbf b\in \mathbb R^m\)，将下面的点集 \(U\) 表示为仿射空间：

\[U = \{\mathbf x\in \mathbb R^n: A\mathbf x = \mathbf b\}. \]

Solution：当 \(U = \emptyset\) 时问题无意义。当 \(U\neq \emptyset\) 时，设 \(\dim \{\mathbf x\in \mathbb R^n: A\mathbf x = \mathbf 0\} = d\)，定义 \(+: U\times \mathbb R^d \to U\) 为

\[\mathbf x + \mathbf u = \mathbf x + \sum_{i=1}^d u_i\mathbf e_i, \]

其中 \(\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_d\) 是零解空间 \(\{\mathbf x\in \mathbb R^n: A\mathbf x = \mathbf 0\}\) 的一组基。

Lemma 6.7（Chasles 恒等式）在仿射空间 \((E, \overrightarrow E, +)\) 中，任意三个点 \(a,b,c\in E\) 满足

\[\overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc} = \overrightarrow{ac}. \]

Proof：由 Definition 6.1 有

\[\exists ! \overrightarrow{ab} \in \overrightarrow E, \text{s.t. } b = a + \overrightarrow{ab}; \\ \exists ! \overrightarrow{bc} \in \overrightarrow E, \text{s.t. } c = b + \overrightarrow{bc}. \]

因此

\[c = (a + \overrightarrow{ab}) + \overrightarrow{bc} = a + (\overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc}). \]

又因为

\[\exists ! \overrightarrow{ac}\in \overrightarrow E, \text{s.t. } c = a + \overrightarrow{ac}, \]

所以 \(\overrightarrow{ac} = \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc}\)。

Lemma 6.8 设 \((p_i)_{i\in I}\) 是仿射空间中的一族点，\((\lambda_i)_{i\in I}\) 是一族具有有限支集的常数（即除了一个有限集 \(J\subset I\) 外 \(\lambda_i = 0\)），则任意两个点 \(a,b\in E\) 满足

\[\begin{aligned} \sum_{i\in I}\lambda_i = 1 & \Rightarrow a + \sum_{i\in I}\lambda_i\overrightarrow {ap_i} = b + \sum_{i\in I}\lambda_i\overrightarrow{bp_i}; \\ \sum_{i\in I}\lambda_i = 0 & \Rightarrow \sum_{i\in I} \lambda_i\overrightarrow{ap_i} = \sum_{i\in I}\lambda_i\overrightarrow{bp_i}. \end{aligned} \]

Proof：由 Chasles 恒等式和 \(\sum_i \lambda_i = 1\) 得

\[\begin{aligned} & a + \sum_{i\in I} \lambda_i \overrightarrow {ap_i} = a + \sum_{i\in I}\lambda_i (\overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bp_i}) \\ = & a + \overrightarrow{ab}\sum_{i\in I}\lambda_i + \sum_{i\in I}\lambda_i\overrightarrow{bp_i} = a + \overrightarrow{ab} + \sum_{i\in I} \lambda_i\overrightarrow{bp_i} \\ = & b + \sum_{i\in I}\lambda_i\overrightarrow{bp_i}, \end{aligned} \]

第二式同理可证明。

Definition 6.9（仿射组合）\(n+1\) 个点 \(X = \{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n\}\) 的仿射组合是

\[\mathbf y = \sum_{i=0}^n \lambda_i\mathbf x_i, \text{ s.t. }\sum_{i=0}^n \lambda_i = 1. \]

\(\mathbf y\) 也称为 \(\{(\mathbf x_i, \lambda_i)\}_{i=0}^n\) 的加权重心。

Definition 6.10（仿射壳）\(n+1\) 个点 \(X = \{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n\}\) 的仿射壳是它们的所有仿射组合构成的集合。

Definition 6.11（仿射集合）称欧式空间的一个子集 \(A\) 是仿射集合如果任意两个点的仿射凸壳都包含于 \(A\)。

Example 6.12 欧氏空间中的超平面都是仿射集合。

Example 6.13 对任意 \(t\in \mathbb R\)，根据二项式展开 \((t + (1-t))^3 = 1\)，有

\[(1-t)^3 + 3t(1-t)^2 + 3t^2(1-t) + t^3 = 1. \]

因此对任意四个点 \(a,b,c,d\)，

\[(1-t)^3a + 3t(1-t)^2b + 3t^2(1-t)c + t^3d \]

是一个仿射组合。因此，可定义曲线 \(F: \mathbb A \to \mathbb A^2\)，

\[F(t) := (1-t)^3a + 3t(1-t)^2b + 3t^2(1-t)c + t^3d, \]

称之为贝塞尔曲线，\(a,b,c,d\) 称为控制点。这条曲线通过 \(a,d\) 但不一定通过 \(b,c\)。

6.1.2 凸壳

Definition 6.14（线性生成集）一个向量集合的线性生成集定义为它的所有线性组合所构成的集合。

Definition 6.15（凸组合）\(n+1\) 个点 \(X = \{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n\}\) 的凸组合是

\[\mathbf y = \sum_{i=0}^n \lambda_i\mathbf x_i, \text{ s.t. }\lambda_i \in [0,1], \sum_{i=0}^n \lambda_i = 1. \]

\(X\) 的凸壳是其所有凸组合所构成的集合，记作 \(\text{conv}(X)\) 或 \(\text{conv}\{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n\}\)。

Definition 6.16（凸集）称欧氏空间的子集 \(A\) 是凸集如果任意两个点的凸壳都包含于 \(A\)。

Exercise 6.17 证明 \(\text{conv}(Q) = Q\) 当且仅当 \(Q\) 是凸集。

Proof：（1）必要性。设 \(\text{conv}(Q) = Q\)，则对 \(Q\) 中任意两个点 \(a,b\) 和 \(t\in [0,1]\)，

\[ta + (1-t)b = \sum_{x\in Q}\lambda_xx\in \text{conv}(Q) = Q. \]

其中 \(\lambda_a = t, \lambda_b = 1-t, \lambda_x = 0(\forall x\neq a,b)\)。

（2）充分性。设 \(Q\) 是凸集，则对任意 \(n+1\) 个点 \(x_0, x_1, \dots, x_n\) 和系数 \(\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_n\)，有

\[\begin{aligned} y_1 &= \frac{\lambda_0}{\lambda_0 + \lambda_1}x_0 + \frac{\lambda_1}{\lambda_0 + \lambda_1}x_1\in Q; \\ y_2 &= \frac{\lambda_0 + \lambda_1}{\lambda_0 + \lambda_1 + \lambda_2}y_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_0 + \lambda_1 + \lambda_2}x_2\in Q, \\ & \vdots \\ y = y_n &= (\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i)y_{n-1} + \lambda_nx_n \in Q. \end{aligned} \]

故 \(\text{conv}(Q)\subset Q\)。因此 \(\text{conv}(Q) = Q\)。

Exercise 6.18 对两个/三个不同的平面向量，它们的凸壳、仿射壳、线性壳分别是什么？

Solution：设向量为 \(v_1, v_2, v_3\)。

• \(\text{conv}\{v_1, v_2\}\)：连接两个点的线段 \([v_1, v_2]\)；
• \(\text{aff}\{v_1, v_2\}\)：连接两个点的直线 \(\overline{v_1v_2}\)；
• \(\text{span}\{v_1, v_2\}\)：整个平面。

当 \(v_1, v_2, v_3\) 共线时，结论与两个向量本质相同；当 \(v_1, v_2, v_3\) 不共线时，

• \(\text{conv}\{v_1, v_2, v_3\}\)：三个点所形成的三角形；
• \(\text{aff}\{v_1, v_2, v_3\}, \text{span}\{v_1, v_2, v_3\}\)：整个平面。

Lemma 6.19 两个凸集的交是凸集。

Lemma 6.20 任意有界凸开集 \(U\subset \mathbb R^n\) 满足

（1）对任意 \(\mathbf w\in U\)，所有以 \(\mathbf w\) 为端点的射线和 \(\partial U\) 有唯一交点。

（2）存在同胚映射 \(G: \mathbb D^n \to \overline U\) 使得 \(G(\mathbb S^{n-1}) = \partial U\)。

Proof：（1）以 \(\mathbf w\) 为端点的射线可以表示为

\[R = \{\mathbf w + t\mathbf p: t\in [0, +\infty)\}, \]

其中 \(\mathbf p\) 是 \(R\) 对应的单位向量。由 Lemma 6.19，\(R\cap U\) 是凸集，又因为 \(U\) 有界且 \(R\cap U\subset R\)，

\[\exists s\in \mathbb R^+, \text{ s.t. }\{\mathbf w + t\mathbf p: t\in [0,s)\}\subset R\cap U, \]

其中，由 \(U\) 是开集可知 \(\mathbf w + s\mathbf p\in \partial U\)。事实上，\(t\) 的取值范围只能是一个区间，否则将与 \(R\cap U\) 的凸性矛盾。综上，上式的 \(\subset\) 可改为 \(=\)。

不失一般性，假设 \(\mathbf w = 0\)，则函数 \(f(\mathbf x) = \frac{\mathbf x}{\Vert\mathbf x\Vert}\) 定义了 \(\mathbb R^n\backslash \{\mathbf w\}\) 到 \(\mathbb S^{n-1}\) 的函数。由（1）可知，\(f|_{\partial U}\) 是双射，定义其逆映射为 \(g: \mathbb S^{n-1}\to \partial U\)，将其延拓为 \(G: \mathbb D^n\to \overline U\)：

\[G(\mathbf x) = \begin{aligned} & \left\Vert g\left(\frac{\mathbf x}{\Vert\mathbf x\Vert}\right) \right\Vert\mathbf x, & \mathbf x\neq \mathbf w, \\ & \mathbf 0, & \mathbf x = \mathbf w. \\ \end{aligned} \]

易证 \(G\) 是连续双射。

Definition 6.21 称有序集 \(\{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m\}\subset \mathbb R^n\) 仿射无关如果 \(\{\mathbf x_1-\mathbf x_0, \mathbf x_2-\mathbf x_0, \dots, \mathbf x_m-\mathbf x_0\}\) 在 \(\mathbb R^n\) 中线性无关。

Example 6.22 单元素集 \(\{\mathbf x_0\}\) 是仿射无关的。

Example 6.23 集合 \(\{\mathbf x_0, \mathbf x_1\}\) 仿射无关如果 \(\mathbf x_1\neq \mathbf x_0\)；集合 \(\{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \mathbf x_2\}\) 仿射无关如果三点不共线；集合 \(\{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \mathbf x_2, \mathbf x_3\}\) 仿射无关如果四点不共面。

Exercise 6.24 证明线性无关集一定是仿射无关集，但反之不一定成立。

Proof：设 \(X = \{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m\}\) 线性无关。若 \(X\) 仿射相关，即存在 \(c_1, \dots, c_m\) 使得

\[\sum_{i=1}^m c_i(\mathbf x_i - \mathbf x_0) = 0, \]

则 \((-\sum_{i=1}^m c_i)\mathbf x_0 + \sum_{i=1}^m c_i\mathbf x_i = 0\)，即 \(X\) 线性相关，矛盾。

反之，考虑 \(\mathbf x_0 = (0, 0), \mathbf x_1 = (0, 1)\)，则 \(\{\mathbf x_0, \mathbf x_1\}\) 仿射无关但线性相关。

Theorem 6.25 对点集 \(X = \{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m\}\)，以下条件等价：

• \(X\) 仿射无关；

• 若 \(\{\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_m\}\subset \mathbb R\) 满足 \(\sum_{i=0}^m \lambda_i\mathbf x_i = 0\) 且 \(\sum_{i=0}^m \lambda_i = 0\)，则 \(\lambda_0 = \dots = \lambda_m = 0\)。

• 对任意 \(\mathbf y\in \text{aff}(X)\)，存在唯一仿射组合表示

  \[\mathbf y = \sum_{i=0}^m t_i\mathbf x_i, \sum_{i=0}^m t_i = 1. \]

Proof：（1）\(\Rightarrow\)（2）：

\[0 = \sum_{i=0}^m \lambda_i\mathbf x_i = \sum_{i=0}^m \lambda_i\mathbf x_i - \sum_{i=0}^m \lambda_i\mathbf x_0 = \sum_{i=0}^m \lambda_i(\mathbf x_i - \mathbf x_0) = \sum_{i=1}^m \lambda_i(\mathbf x_i - \mathbf x_0). \]

因为 \(\{\mathbf x_i - \mathbf x_0\}\) 线性无关，所以 \(\lambda_1 = \dots = \lambda_m = 0\)。

（2）\(\Rightarrow\)（3）：假设有不同的仿射组合表示 \(\mathbf y = \sum_i t_i\mathbf x_i = \sum_i s_i\mathbf x_i\)，则由（2）可知

\[\sum_i (t_i-s_i) = \sum_i t_i - \sum_i s_i = 1-1=0, \sum_i (t_i-s_i)\mathbf x_i = 0 \Rightarrow t_i - s_i = 0, \forall i. \]

这与（2）矛盾。

（3）\(\Rightarrow\)（1）：假设 \(X\) 仿射相关。则存在不全为 \(0\) 的 \(t_i\) 使得 \(\sum_i t_i(\mathbf x_i - \mathbf x_0) = 0\)。选择任意 \(t_j \neq 0\) 令上述等式与 \(\frac 1{t_j}\) 相乘，得

\[\mathbf x_j - \mathbf x_0 + \sum_{i\neq j} \frac{t_i}{t_j}(\mathbf x_i - \mathbf x_0) = 0. \]

但 \(\mathbf x_j = 1\mathbf x_j\) 是 \(\mathbf x_j\) 的另一种仿射组合表示，这与（3）矛盾。

Corollary 6.26 集合的仿射无关性和它的顺序无关。

Corollary 6.27 仿射无关集合 \(X = \{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m\}\subset \mathbb R^n\) 的仿射壳是 \(m\) 维子线性空间 \(V\) 平移某个向量 \(\mathbf y_0\)，即

\[\exists \mathbf y_0\in \mathbb R^n, \text{ s.t. }\text{aff}(X) = V + \mathbf y_0. \]

Proof：由 Theorem 6.25，任意 \(\mathbf y\in \text{aff}(X)\) 有唯一仿射组合表示。将其重写为

\[\mathbf y = \mathbf x_0 + \sum_{i=1}^m t_i(\mathbf x_i - \mathbf x_0), \]

令 \(\mathbf y_0 = \mathbf x_0\)，\(V\) 为由 \(\{\mathbf x_i - \mathbf x_0\}\) 生成的线性空间即可。

Definition 6.28（重心坐标）设 \(X = \{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m\}\) 是 \(\mathbb R^N\) 的仿射无关子集。则对任意 \(\mathbf y\in \text{aff}(X)\)，其重心坐标定义为 Theorem 6.25（3）的 \(m+1\) 元组 \((t_0, t_1, \dots, t_m)\)。

Definition 6.29（一般位置）称点集 \(\{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n\}\subset \mathbb R^N\) 处于一般位置，如果它的每个大小为 \(N+1\) 的子集都仿射无关。

Example 6.30（数值逼近中的仿射无关）设 \(\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n\) 是 \(\mathbb R^N\) 中 \(n+1\) 个不同的点，且 \(\phi_0, \phi_1, \dots, \phi_n\) 是 \(n+1\) 个 \(\mathbb R^N\to \mathbb R\) 的线性无关的连续函数。

多变量插值问题：求 \(a_0, a_1, \dots, a_n\in \mathbb R\) 使得

\[\forall j = 0,1,\dots,n, \text{ s.t. }\sum_{i=0}^n a_i\phi_i(\mathbf x_j) = f(\mathbf x_j), \]

其中 \(f: \mathbb R^N\to \mathbb R\) 是一个给定的待拟合函数。

称坐标 \(\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n\) 以 \(\phi_0, \phi_1, \dots, \phi_n\) 为基函数为平衡的如果采样矩阵

\[S = \begin{bmatrix} \phi_0(\mathbf x_0) & \phi_1(\mathbf x_0) & \dots & \phi_n(\mathbf x_0) \\ \phi_0(\mathbf x_1) & \phi_1(\mathbf x_1) & \dots & \phi_n(\mathbf x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_0(\mathbf x_n) & \phi_1(\mathbf x_n) & \dots & \phi_n(\mathbf x_n) \\ \end{bmatrix} \]

非奇异。特别地，当 \(N=1, \phi_j(x) = x^j\) 时，采样矩阵就是范德蒙德矩阵，坐标是平衡的当且仅当它们互不相同。对于高维情形，条件则远比一维情形复杂。

Theorem 6.31 对任意 \(n\geq 0\)，欧氏空间 \(\mathbb R^N\) 中存在 \(n\) 个处于一般位置的点。

Proof：若 \(n\leq N+1\)，选择原点和 \(n-1\) 个标准基向量即可；

若 \(n > N+1\)，选择 \(n\) 个互不相同的实数 \(t_1, t_2, \dots, t_n\)，定义

\[\forall i = 1,2,\dots,n, \mathbf x_i := [t_i, t_i^2, \dots, t_i^N]^T\in \mathbb R^N. \]

下证这 \(n+1\) 个点处于一般位置。如果不然，由 Corollary 6.26，不妨假设前 \(N+1\) 个点仿射相关，即 \(\{\mathbf x_1-\mathbf x_0, \dots, \mathbf x_N - \mathbf x_0\}\) 线性相关，即

\[V^*\mathbf s = 0, \]

其中 \(\mathbf s\) 是某个实向量，\(V^* = [\mathbf x_1 - \mathbf x_0, \dots, \mathbf x_N - \mathbf x_0]\)，展开即

\[V^*=\begin{bmatrix} t_1 - t_0 & t_2 - t_0 & \dots & t_N - t_0 \\ t_1^2 - t_0^2 & t_2^2 - t_0^2 & \dots & t_N^2 - t_0^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ t_1^N - t_0^N & t_2^N - t_0^N & \dots & t_N^N - t_0^N \\ \end{bmatrix}, \]

因此有

\[\det V^* = \det\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ t_0 & t_1-t_0 & \dots & t_N-t_0 \\ t_0^2 & t_1^2-t_0^2 & \dots & t_N^2-t_0^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ t_0^N & t_1^N-t_0^N & \dots & t_N^N - t_0^N \\ \end{bmatrix} = \det V^T, \]

因为 \(t_i\) 互不相同，所以 \(\det V^T \neq 0, \det V^*\neq 0\)。所以 \(\mathbf s = \mathbf 0\)，这与假设矛盾。

6.1.3 单形，仿射映射

Definition 6.32（\(m-\)单形）设 \(X = \{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m\}\) 是 \(\mathbb R^N\) 中的仿射独立子集，\(m\leq N\)。称顶点为 \(\mathbf x_0, \dots, \mathbf x_m\) 的单形 \(\mathbf X\) 为

\[\mathbf X = [\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m] := \text{conv}\{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m\}. \]

Definition 6.33（顶点集）\(m-\)单形的顶点集定义为

\[\text{Vert}(\mathbf X) = X = \{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m\}. \]

并记 \(\dim \mathbf X = m\)。

Definition 6.34（加权重心）设 \(X = \{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m\}\subset \mathbb R^N\) 仿射独立，定义以 \(X\) 为顶点的 \(m-\)单形的重心为 \(\frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^m \mathbf x_i\)。

Definition 6.35（面）单形 \(\mathbf X\) 的面是所有满足 \(\text{Vert}(\mathbf V)\subset \text{Vert}(\mathbf X)\) 的单形 \(\mathbf V\)，记作 \(\mathbf V\leq \mathbf X\)。单形 \(\mathbf X\) 的真面是满足 \(\text{Vert}(\mathbf V)\subsetneq \text{Vert}(\mathbf X)\) 的 \(\mathbf V\)，记作 \(\mathbf V < \mathbf X\)。

Definition 6.36（边界）对于 \(m-\)单形 \([\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m]\)，其顶点 \(\mathbf x_i\) 相对的 \((m-1)-\)面，记作 \([\mathbf x_0, \dots, \hat{\mathbf x}_i, \dots, \mathbf x_m]\)，定义为

\[\left\{\sum_{j=0}^m t_j\mathbf x_j: t_j\geq 0, \sum_{j=0}^m t_j = 1, t_i = 0\right\}. \]

\(m-\)单形的边界定义为它所有 \((m-1)-\)面之并。

Definition 6.37（标准 \(n-\)复形）标准 \(n-\)复形，记为 \(\Delta^n\subset \mathbb R^{n+1}\)，定义为

\[\Delta^n := \{(x_1, \dots, x_{n+1})\in \mathbb R^{n+1}: x_i\geq 0, \sum_i x_i = 1\}. \]

Example 6.38 \(\Delta^2\subset \mathbb R^3\) 是集合 \(\{(x,y,z): x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0\}\) 与平面 \(x+y+z=1\) 的交。

Corollary 6.39 任意 \(m-\)单形在 \(\mathbb R^N\) 中紧。

Definition 6.40（仿射映射）设 \(X = \{\mathbf x_0, \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_m\}\subset \mathbb R^N\) 仿射无关，则仿射映射是形如 \(T: \text{aff}(X)\to \mathbb R^k\) 或 \(T: \text{conv}(X)\to \mathbb R^k\) 的函数，满足

\[\sum_j t_j = 1 \Rightarrow T\left(\sum_j t_j\mathbf x_j\right) = \sum_j t_jT(\mathbf x_j). \]

Lemma 6.41 若 \(T: \mathbb R^N \to \mathbb R^k\) 是仿射函数，则存在某个固定的 \(\mathbf y_0\in \mathbb R^k\) 和线性函数 \(\lambda: \mathbb R^N\to \mathbb R^k\) 使得 \(T(\mathbf x) = \lambda(\mathbf x) + \mathbf y_0\)。

Proof：令 \(\mathbf x_0 := \mathbf 0, \mathbf y_0 := T(\mathbf x_0) = T(\mathbf 0)\)。对任意给定的 \(t_j (j = 1, 2, \dots, N)\) 和非零点 \(\mathbf x_j\)，下证 \(\lambda(\mathbf x) = T(\mathbf x) - T(\mathbf 0)\) 是线性映射。定义 \(t_0 = 1 - \sum_{j=1}^N t_j\)，则有

\[\begin{aligned} & \lambda\left(\sum_{j=1}^Nt_j\mathbf x_j\right) = \lambda\left(\sum_{j=0}^N t_j\mathbf x_j\right) \\ =& T\left(\sum_{j=0}^N t_j\mathbf x_j\right) - T(\mathbf 0) \\ =& \sum_{j=0}^N t_jT(\mathbf x_j) - T(\mathbf 0)\sum_{j=0}^N t_j \\ =& \sum_{j=0}^N t_j[T(\mathbf x_j) - T(\mathbf 0)] \\ =& \sum_{j=0}^N t_j\lambda(\mathbf x_j) = \sum_{j=1}^N t_j\lambda(\mathbf x_j). \\ \end{aligned} \]

其中 \(\lambda(\mathbf x_0) = \lambda(\mathbf 0) = \mathbf 0\in \mathbb R^k\)。

Corollary 6.42 任意仿射映射都等于线性映射和平移的复合。

Corollary 6.43 设 \(\text{conv}(X)\) 和 \(\text{conv}(Y)\) 分别为 \(m-\)单形和 \(n-\)单形。则任意函数 \(f: X\to \text{conv}(Y)\) 可唯一延拓为仿射映射 \(T: \text{conv}(X) \to \text{conv}(Y)\) 使得 \(T(\mathbf x_i) = f(\mathbf x_i), \forall \mathbf x_i\in X\)。

Proof：对任意仿射组合 \(\sum_i t_i\mathbf x_i\)，定义 \(T(\sum_i t_i\mathbf x_i) := \sum_i t_i f(\mathbf x_i)\)，容易验证 \(T\) 是仿射映射。

6.1.4 单纯复形

Definition 6.44（单纯复形）单纯复形 \(K\) 是欧氏空间中有限个单形的并，且满足

（1）若 \(\sigma\in K\)，则其所有面都属于 \(K\)。

（2）若 \(\sigma, \tau\in K\)，则 \(\sigma\cap \tau\) 是二者的公共面或 \(\sigma\cap \tau = \emptyset\)。

Example 6.45 下面是一个欧氏平面上的单纯复形

\[K = \{a, b, c, d, e, [a,b], [b,c], [c,d], [d,e], [b,e], [c,e]\}. \]

Exercise 6.46 给定两个单形 \(\sigma = [a,b,c]\) 和 \(\tau = [d,e,f]\)，设 \(K\) 为 \(\sigma\) 和 \(\tau\) 的所有面的并集，\(K\) 是否为单纯复形？

Proof：不是。\(\sigma \cap \tau = d\) 不是 \(\sigma\) 的面。

Lemma 6.47 单形之并 \(K\) 是单纯复形当且仅当

（1）若 \(\sigma\in K\)，则其所有面都属于 \(K\)。

（2）\(K\) 中任意两个不同的单形内部不交。

Proof：必要性：需要证明若存在 \(\sigma^\circ\cap\tau^\circ\neq \emptyset\) 则 \(\sigma = \tau\)。

设 \(r = \sigma\cap\tau\)。由 Definition 6.44，\(r\) 必为 \(\sigma\) 的一个面。假设 \(r\) 是真面，则 \(r\subset \partial \sigma\)，这与 \(r\) 包含 \(\sigma\) 中的内点矛盾。因此 \(r = \sigma\)。同理 \(r = \tau\)。

充分性：设 \(\sigma = \text{conv}\{s_0, \dots, s_m\}, \tau = \text{conv}\{t_0, \dots, t_n\}\) 是 Definition 6.32 所定义的两个单形。若 \(X := \text{Vert}(\sigma)\cap \text{Vert}(\tau) = \emptyset\)，则 \(\sigma\cap\tau = \emptyset\)；否则与（2）矛盾。若 \(X = \emptyset\)，则条件（1）可推出 \(\text{conv}(X)\) 也是 \(K\) 的单形。再由 Definition 6.35 可得它是 \(\sigma\) 和 \(\tau\) 的公共面。

Corollary 6.48 对单形 \(\sigma\)，它本身和它所有的真面构成了单纯复形。

Definition 6.49（维数）单纯复形 \(K\) 的维数是

\[\dim K := \sup_{\sigma\in K}\{\dim \sigma\}. \]

Definition 6.50（子复形）单纯复形 \(K\) 的子复形 \(L\) 是 \(K\) 的一个子集，且它包含自身的每个元素的所有面。

Definition 6.51（骨架）单纯复形 \(K\) 的 \(n-\)骨架，记作 \(K^{(n)}\)，是 \(K\) 的所有至多 \(n\) 维单形的并。

Definition 6.52（顶点集）单纯复形 \(K\) 的顶点集，记作 \(\text{Vert}(K)\) 或 \(K^{(0)}\)，是 \(K\) 的 \(0-\)骨架。

Definition 6.53（多胞形）单纯复形 \(K\) 的多面体，记作 \(|K|\)，是它所有单形在欧氏空间中的并集。

Corollary 6.54 有限单纯复形的多面体是紧集。

Proof：设 \(K\) 有限，则 \(|K|\) 是有限个紧集 \(\sigma\) 之并，也是紧集。

Definition 6.55（多面体，三角剖分）单纯复形 \(K\) 的多面体是一个拓扑空间 \(X\)，\(X\) 与 \(|K|\) 同胚。设同胚映射为 \(h: |K|\to X\)，则称 \((K, h)\) 是 \(X\) 的三角剖分，且此时称 \(X\) 可被三角剖分。

Example 6.56 由 Corollary 6.48，每个 \(n-\)单形 \(\sigma\) 确定了一个单纯复形 \(K\)，即它的所有面之并。显然，\(|K| = \sigma\) 且 \(\sigma\) 是多面体，因为恒等映射 \(h: |K| \to \sigma\) 是同胚。

Exercise 6.57 尽管 Exercise 6.46 中的例子不是单纯复形，但它是多面体。它和什么单纯复形同胚？

Proof：

\[L = \{a,b,c,d,e,f,[a,b],[b,d],[d,c],[c,a],[d,e],[e,f],[f,d],[a,b,d,c],[d,e,f] \}. \]

Example 6.58 标准 \(2-\)复形 \(\Delta^2\) 包含于欧氏空间 \(\mathbb R^3\) 中。定义 \(K\) 为 \(\Delta^2\) 的所有真面之并，则 \(K\) 是单纯复形且 \(|K|\) 是三角形 \(\Delta^2\) 在 \(\mathbb R^3\) 中的边界。对 \(X = \mathbb S^1\)，选择不同的三个点 \(a_0, a_1, a_2\in \mathbb S^1\) 并定义同胚 \(h: |K|\to \mathbb S^1, h(\mathbf e_i) = a_i\)，其中 \(\mathbf e_i\) 是 \(\mathbb R^3\) 的第 \(i\) 个单位向量；则 \(h\) 将每个 \(1-\)复形映射到 \(\mathbb S^1\) 的一段圆弧上。因此 \((K, h)\) 是 \(\mathbb S^1\) 的一个三角剖分，即 \(\mathbb S^1\) 是多面体。

Example 6.59 假设 \(K\) 是包含 \(n-\)单形 \(\sigma\) 的所有面的单纯复形，则存在同胚映射 \(h\) 使得 \((K, h)\) 是 \(\mathbb S^{n-1}\) 的三角剖分。

Exercise 6.60 正方形 \(\mathbf I\times \mathbf I\) 的边如下定向可表示环面 \(\mathbb T^2\)：

准确地，将 \((t,0)\) 与 \((t,1)\) ”黏合“得到圆柱，再将 \((0,r)\) 与 \((1,r)\) ”黏合“得到环面。下面的三角剖分是否为 \(\mathbb T^2\) 的三角剖分？

如果是，证明之；否则将其修改为 \(\mathbb T^2\) 的三角剖分。

Proof：是，因为恒等映射在商空间中仍然是同胚映射。

6.1.5 多面体上的拓扑

Definition 6.61（多胞形空间）在单纯复形 \(K\) 的多面体 \(|K|\) 上，称 \(A\subset |K|\) 是闭集如果对任意 \(\sigma\in K\)，子集 \(A\cap \sigma\) 在 \(\sigma\) 中闭，其中 \(\sigma\) 上的拓扑定义为自然欧氏拓扑。

Lemma 6.62 多胞形空间上的拓扑比 \(|K|\) 作为欧氏空间 \(\mathbb R^N\) 的子拓扑诱导的拓扑更细。但如果 \(K\) 有限，则两个拓扑相同。

Proof：设 \(A\subset |K|\) 在 \(|K|\) 中作为子拓扑是闭集。由 Lemma 1.118（相对闭集），存在闭集 \(Y\subset \mathbb R^N\) 使得 \(A = |K|\cap Y\)。由 Lemma 6.20，所有的面 \(\sigma\in K\) 在 \(\mathbb R^N\) 中都是闭集。因此交集 \(A\cap \sigma\) 是闭集。上述结论无论 \(K\) 是否有限都成立。

当 \(K\) 有限时，假设 \(A\subset |K|\) 在多胞形拓扑下在 \(|K|\) 中是闭集，则 \(A\cap \sigma_i\) 在 \(\sigma_i\) 中是相对闭的。即对每个 \(i\) 都存在闭子集 \(Y_i\subset \mathbb R^N\) 使得 \(Y_i\cap \sigma_i = A\cap \sigma_i\)。因为 \(K\) 有限，所以 \(Y = \cup_i Y_i\) 是有限个闭集之并，在 \(\mathbb R^N\) 中是闭集。所以

\[Y\cap |K| = Y\cap (\cup_i \sigma_i) = \cup_i (Y\cap \sigma_i) = \cup_i (A\cap \sigma_i) = A. \]

因此由 Lemma 1.118，\(A\) 在 \(|K|\) 的子拓扑下是闭集。当 \(K\) 无限时上述讨论不成立。

Example 6.63 设 \(K\) 是 \(\mathbb R\) 中所有形如 \([m,m+1]\) 和 \([\frac 1{n+1}, \frac 1n]\) 的 \(1-\)复形及其真面之并，\(m\in \mathbb Z\backslash \{0\}, n\in \mathbb Z^+\)，则 \(|K| = \mathbb R\)，但 \(|K|\) 上的多胞形拓扑下集合 \(\{\frac 1n: n\in \mathbb Z^+\}\) 是闭集（在自然拓扑中不开不闭）。

Example 6.64 定义 \(1-\)单形

\[\sigma_n = \text{conv}\{(0,0),(1,\frac 1n)\}\subset \mathbb R^2, n\in \mathbb Z^+ \]

定义单纯复形 \(K\) 为

\[K^{(0)} = \{(0,0)\}\cup \{(1,\frac 1n):n\in \mathbb Z^+\}; K^{(1)} = \{\sigma_n: n\in \mathbb Z^+\}. \]

则集合

\[|K| \cap \{(x,x^2): x>0\} \]

是 \(K\) 中闭集，但在 \(\mathbb R^2\) 中不是闭集。

Definition 6.65（开 \(m-\)单形）\(m-\)单形 \(\sigma\) 的开 \(m-\)单形定义为

\[\sigma^\circ = \begin{aligned} & \sigma, & m=0; \\ & \text{Int}(\sigma), & \text{otherwise}. \end{aligned} \]

Exercise 6.66 开 \(m-\)单形 \(\sigma^\circ\) 是 \(\sigma\) 的多胞形的开子集，但不一定是 \(|K|\) 的开子集。给出两个例子。

Proof：设 \(K = [a,b]\)，则开 \(0-\)单形 \(\{a\}\) 不是 \(|K|\) 的开子集；设 \(K = [a,b,c]\)，则开 \(1-\)单形 \((a,b)\) 也不是 \(|K|\) 的开子集。

Exercise 6.67 证明单纯复形的多胞形是它的开单形的不交并。

Proof：这是 Lemma 6.47 的直接推论。