[IOI 1998 / USACO2.2] 派对灯 Party Lamps 题解 + bitset浅谈

现在有这些按钮：

• 按钮 \(1\)：当按下此按钮，将改变所有的灯：本来亮着的灯就熄灭，本来是关着的灯被点亮；
• 按钮 \(2\)：当按下此按钮，将改变所有奇数号的灯；
• 按钮 \(3\)：当按下此按钮，将改变所有偶数号的灯；
• 按钮 \(4\)：当按下此按钮，将改变所有序号是 \(3k+1 \ (k \in [0,+\infty) \cap \mathbb Z)\) 的灯。例如：\(1,4,7,10 \dots\)。

同时告诉你 \(n\) 的大小，以及按按钮的次数 \(c\) 和某些点的状态，求最后有几种情况。

题解

注意到只有 \(0,1\) 两种状态，考虑使用 \(bitset\)。

bitset

可以看作是一个二进制数，且支持以下几种操作：
reset()清零一个 \(bitset\)，及将其中每一位设置为 \(0\)。
set()将 \(bitset\) 的每一位设置为 \(1\)。
test(i)返回 \(bitset\) 内第 \(i\) 位的值（从零开始，其实像数组一样直接用下标访问也可以）
any()返回 \(bitset\) 内是否有元素的值为 \(1\)。
none()与any()相对，如果元素全部为 \(0\) 则返回 \(1\)，否则返回 \(0\)。
count()计算 \(bitset\) 内元素值为 \(1\) 的元素个数（求 \(0\) 的个数直接用长度减去它就好了）。
flip()将 \(bitset\) 内的所有元素翻转，相当于按位取反（也就是 \(\sim\)）。
好的以上就是 \(bitset\) 的所有操作。
\(bitset\) 的每一位只占一个 \(bit\)，空间比桶更优。

实现所有按钮

现在让我们回到题目，根据题意以下就是所有按钮的实现：

点击查看代码

bitset<100> bottom1(bitset<100> b){b.flip();return b;
}
bitset<100> bottom2(bitset<100> b){for(int i=1;i<=n;i+=2){b.flip(i-1);}return b;
}
bitset<100> bottom3(bitset<100> b){for(int i=2;i<=n;i+=2){b.flip(i-1);}return b;
}
bitset<100> bottom4(bitset<100> b){for(int i=0;3*i+1<=n;i++){b.flip(3*i);}return b;
}

为了判定最后的结果是否符合要求，我们需要下面这个函数，而答案要从小到大排序，我们还需要一个大小比较函数（\(bitset\) 不能直接比较）：

点击查看代码

bool cmp(bitset<100> A , bitset<100> B){for(int i=0;i<100;i++){if(A[i]<B[i])return true;if(A[i]>B[i])return false;}return false;
}
bool check(bitset<100> tmp){for(int i=0;i<n;i++){if(tmp[i]==0&&light[i+1]==1)return false;if(tmp[i]==1&&light[i+1]==-1)return false;}return true;
}

每个按钮的性质

注意到任意一个按钮按两次就相当于没按，白白浪费了两次按按钮的机会（看作总共 \(c\) 次）。
手玩一下（假设总共 \(10\) 个灯，操作序列：\(bottom1,bottom2,bottom1\)）：

初始状态：1111111111
bottom1：0000000000
bottom2：1010101010
bottom1：0101010101

而把两个 \(bottom1\) 抵消之后的操作：

初始状态：1111111111
bottom2：0101010101

结果完全一致，证明的我们的假设是对的。

解法

现在就很好解了，列出每个按钮最多一次的所有可能操作序列，然后判断 \(c\) 减去这个次数是否为 \(2\) 的倍数，如果可以，说明这个有可能是答案之一。
主函数部分：

点击查看代码

if(c%2==0){if(check(first))ans[++len] = first;}if(c>=1&&(c-1)%2==0){if(check(bottom1(first)))ans[++len] = bottom1(first);if(check(bottom2(first)))ans[++len] = bottom2(first);if(check(bottom3(first)))ans[++len] = bottom3(first);if(check(bottom4(first)))ans[++len] = bottom4(first);}if(c>=2&&(c-2)%2==0){if(check(bottom1(bottom2(first))))ans[++len] = bottom1(bottom2(first));if(check(bottom1(bottom3(first))))ans[++len] = bottom1(bottom3(first));if(check(bottom1(bottom4(first))))ans[++len] = bottom1(bottom4(first));if(check(bottom2(bottom3(first))))ans[++len] = bottom2(bottom3(first));if(check(bottom2(bottom4(first))))ans[++len] = bottom2(bottom4(first));if(check(bottom3(bottom4(first))))ans[++len] = bottom3(bottom4(first));}if(c>=3&&(c-3)%2==0){if(check(bottom1(bottom2(bottom3(first)))))ans[++len] = bottom1(bottom2(bottom3(first)));if(check(bottom1(bottom2(bottom4(first)))))ans[++len] = bottom1(bottom2(bottom4(first)));if(check(bottom1(bottom3(bottom4(first)))))ans[++len] = bottom1(bottom3(bottom4(first)));if(check(bottom2(bottom3(bottom4(first)))))ans[++len] = bottom2(bottom3(bottom4(first)));}if(c>=4&&(c-4)%2==0){if(check(bottom1(bottom2(bottom3(bottom4(first))))))ans[++len] = bottom1(bottom2(bottom3(bottom4(first))));}sort(ans+1,ans+len+1,cmp);for(int i=1;i<=len;i++){for(int j=0;j<n;j++)cout << ans[i][j];cout << "\n";}if(len==0)cout << "IMPOSSIBLE";

一道 $bitset$ 简单题。