数学解题中常见的“漏解”情况分析

一、概念不清，导致漏解

对所学知识概念不清，领会不够深刻，导致答题不完整。

例：已知(a-3)x＞6，求x的取值范围。
分析：根据不等式的性质“不等式的两边同乘或同除以不为零的负数，不等号的方向要改变”，而此题中(a-3)的符号并未确定，所以要分类讨论(a-3)的正负问题。
例：若y2+(k+2)y+16是完全平方式，求k。

分析：完全平方式中有两种情况：(a±b)2=a2±2ab+b2,而同学们往往容易忽略k+2=-8这一解。

二、思维固定，导致漏解

在日常解题过程中，许多同学往往受平时学习中习惯性思维的影响，导致解题不全面。
例：若等腰三解形腰上的高等于腰长的一半、求底角。
分析：据题意，由于等腰三解形既不可能是锐角等腰三解形也可能是钝角等腰三角形，所以腰上的高可能在三角形内部，也可能在外部。而同学们受习惯思维影响，大都忽略了高在三角形外的一种可能。
例：若直角三角形三条边分别为3、4、c，求c的值。
分析：此题中的c并不一定是代表斜边，也可能是直角边，而有些同学错误地将其与勾股定理中的c混淆起来，认为c一定是斜边，导致漏解。
例：圆O的半径为5cm，两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm，求两条弦之间的距离。
分析：两条弦在圆中的位置关系可能在圆心的同侧或者在圆心的两侧，因此在解答时不能依据自己的习惯进行思考。

三、忽视特殊性，导致漏解

许多问题中存在着特殊情况，一旦忽视了这些特殊情况，往往容易导致漏解。
例：已知抛物线y=x2及该抛物线上一点A(1，1)求与此抛物线只有一个公共点A的直线方程。
分析：此题大部分同学设直线方程为y=kx+b，并与y=x2组成方程组，消去y，解得直线方程y=2x-1，但还有一条特殊的直线x=1也是符合题意的，这条直线中的k不存在，因而用以上方法求解必定会被遗漏。
上述是同学们在解答基础题中经常出现的分类思考不全面的情况，而在利用分类讨论思想求解相关综合题有时比较复杂，在这里介绍一些方法，给同学们一些启示。
首先，要严密审题，一字一句阅读，切勿匆匆看题。有时疏忽了一字一句，使该讨论的不讨论，即使讨论了也不全面，如题中出现的“线段”、“射线”或“直线”都是有区别的，不能把它们都当作“线段”去求解。
例如：方程(a－1)x2－6x+4=0有实数根，则a的取值范围是多少？
对此题，同学们往往认为只要利用“△”求解一元二次方程，但题中出现“方程”，应该既要考虑它可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程，不应人为地缩小了a的范围仅当作一元二次方程去求解。
其次，对可能出现的几种情况要全面考虑到，是否还有其他可能情况，争取做到全面、完整、勿缺、勿漏。例如：在∠ABC中，点D在射线AC上，AD=10，以D点为圆心，半径为5作圆交射线AB于E、F两点，EF=6，另在射线AC上取P点为圆心作圆，使圆P既与射线AB相切又与圆D相切，求圆P的半径。
在此题的解答过程中要着重注意两个关键词“射线”和“相切”，特别是对“相切”要进行全面的分类讨论，先分为“外切”和“内切” 两种情况，且每种情况又要再考虑到与圆D相切的左右位置关系，因此最后圆P共有四种位置情况。
再次，对综合题中可能出现的几种情况，要先想一想哪一种求解方便，就先解决这一种情况，这样容易得分，又节省时间，否则有时“卡住”，造成紧张心理，甚至没有时间去解一些简单的情况，造成失分。
而对较难的一种情况求解，一时想不到其他解法，或者虽然能去求解，但过程非常复杂、繁琐，此时不妨退回来想一想：能否对较难的情况进行转化？或者找一个等价的问题去进行求解？这样说不定会找到较简捷、方便的方法，否则，若直接去求解，非常繁杂，耗费大量时间，还可能在运算中造成错误，这更是得不偿失。