贵州省住房和城乡建设部网站,成都住建局官网站首页,商贸有限公司怎么样注册,无锡外贸网站建设目录 概念图遍历深度优先搜索 (DFS)DFS 适用场景DFS 优缺点 广度优先搜索 (BFS)BFS 适用场景BFS 优缺点 DFS BFS 异同点 图搜索Dijkstra算法A*算法Floyd算法Bellman-Ford算法SPFA算法 概念 图遍历和图搜索是解决图论问题时常用的两种基本操作。 图遍历是指从图中的某一个… 目录 概念图遍历深度优先搜索 (DFS)DFS 适用场景DFS 优缺点 广度优先搜索 (BFS)BFS 适用场景BFS 优缺点 DFS BFS 异同点 图搜索Dijkstra算法A*算法Floyd算法Bellman-Ford算法SPFA算法 概念 图遍历和图搜索是解决图论问题时常用的两种基本操作。 图遍历是指从图中的某一个节点出发访问图中所有的节点确保每个节点都被访问到且不会重复访问。图遍历有两种主要方式深度优先搜索DFS和广度优先搜索BFS图搜索是指在图中寻找特定目标的过程。搜索可能是无目标的即只是为了遍历整个图也可能是有目标的希望找到特定的节点或路径。最常用的有目标图搜索算法是Dijkstra算法用于找到单源最短路径和A*算法结合了BFS和启发式搜索用于找到最优路径。 图遍历 深度优先搜索 (DFS) 深度优先搜索(Depth First Search,DFS)是一种用于遍历或搜索树或图的算法。它从起始顶点开始沿着一条路径直到不能继续为止然后返回到最近的一个未访问过的节点继续相同的过程直到所有节点都被访问过。 function DFS(node):if node is not visited:mark node as visitedfor each neighbor of node:DFS(neighbor)DFS 适用场景 寻找路径DFS 在寻找路径方面非常强大可以用于解决迷宫问题、寻找图中两个节点之间的路径等。拓扑排序DFS 可以用于在有向图中进行拓扑排序例如在编译器优化、任务调度等领域中应用广泛。检测环路DFS 可以用于检测图中是否存在环路对于拓扑排序来说有向无环图 (DAG) 才有拓扑排序的结果。生成最小生成树DFS 可以用于生成最小生成树例如在 Prim 算法中。 DFS 优缺点 优点: 节省空间相比较于 BFSDFS 使用递归实现时不需要额外的数据结构来保存访问状态因此可能会更节省空间。发现深层次的节点DFS 会尽可能深地探索某一条分支因此在找到目标节点或解之前会一直沿着一条路径向下探索。 缺点: 可能陷入死循环如果图中包含循环且没有合适的终止条件DFS 可能会陷入无限循环。可能 找到的不是最短路径由于 DFS 是尽可能深地探索某一条分支所以找到的路径不一定是最短路径。 广度优先搜索 (BFS) 广度优先搜索(Breadth First Search,BFS)也是一种用于遍历或搜索树或图的算法。它从起始顶点开始首先访问所有与起始顶点相邻的节点然后逐层向下访问。 function BFS(start):create a queue Qenqueue start into Qmark start as visitedwhile Q is not empty:current dequeue from Qfor each neighbor of current:if neighbor is not visited:mark neighbor as visitedenqueue neighbor into QBFS 适用场景 寻找最短路径BFS 可以用于寻找图中两个节点之间的最短路径因为它会逐层扩展所以找到的路径一定是最短的。最小生成树 (Prim 算法)BFS 也可以用于 Prim 算法中生成最小生成树的过程。 BFS 优缺点 优势: 找到最短路径BFS 适用于需要找到最短路径的情况因为它会优先访问距离起点更近的节点。避免陷入死循环BFS 通常不容易陷入死循环因为它会逐层扩展不会无限制地向下探索。 缺点: 可能占用更多内存BFS 通常需要一个队列来保存待访问节点可能会占用比DFS更多的内存。不一定能找到最深层次的节点BFS 在发现目标节点时不一定会沿着一条深度较大的路径找到它。 DFS BFS 异同点 相同点: DFS 和 BFS 都是图遍历算法用于访问图中的所有节点确保每个节点都被访问到。 不同点: 搜索方式: - DFS尽可能深地探索某一条分支直到不能继续为止然后回溯。 - BFS先访问与起始节点直接相邻的所有节点然后逐层向下访问。 适用场景: - DFS 适用于寻找路径、拓扑排序、检测环路等问题。 - BFS 适用于寻找最短路径、最小生成树等问题。 找到的路径: - DFS 找到的路径不一定是最短路径。 - BFS 一定能找到最短路径。 空间复杂度: - DFS 可能会节省一些空间特别是使用递归实现时。 - BFS 通常会占用更多的内存因为需要一个队列来保存待访问节点。 总的来说选择使用DFS还是BFS取决于具体的问题和需求。如果需要寻找最短路径或最优解通常选择BFS。如果问题需要深度搜索或者对内存消耗有限制可能会选择DFS。 图搜索 图搜索根据目标可以分为目标节点搜索和目标路径搜索。 Dijkstra算法 给定一个带权有向图 G(V,E) 其中每条边的权是一个非负实数。另外还给定 V 中的一个顶点称为源。现在我们要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度。这里的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题如下图所示。 算法思想将图G中所有的顶点V分成两个顶点集合S和T。以v为源点已经确定了最短路径的终点并入S集合中S初始时只含顶点v,T则是尚未确定到源点v最短路径的顶点集合。然后每次从T集合中选择S集合点中到T路径最短的那个点并加入到集合S中并把这个点从集合T删除。直到T集合为空为止。 function Dijkstra(Graph, source):create empty set Screate a set Q containing all nodescreate a map distance and set distance[source] 0while Q is not empty:u node in Q with smallest distance[u]remove u from Qadd u to Sfor each neighbor v of u:if distance[u] weight(u, v) distance[v]:distance[v] distance[u] weight(u, v)return distance算法复杂度 设带权有向图的边数为m顶点数为n。 用数组存储顶点方式实现复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)用邻接表存储 二叉堆实现复杂度为 O ( ( m n ) l o g n ) O((mn)logn) O((mn)logn)用邻接表存储 斐波那契堆实现复杂度为 O ( m n l o g n ) O(mnlogn) O(mnlogn) A*算法 A*算法结合了启发式搜索和Dijkstra算法的思想用于在加权图中找到起点到目标节点的最短路径。它使用一个启发式函数来估计从当前节点到目标节点的距离并根据这个估计值选择下一个要扩展的节点。 适用于带有启发式函数的加权图找到起点到目标节点的最短路径。 function AStar(Graph, source, target):create empty set openSet and add source to itcreate empty set closedSetcreate a map gScore and set gScore[source] 0create a map fScore and set fScore[source] heuristic(source, target)while openSet is not empty:current node in openSet with lowest fScoreif current target:return reconstructPath(cameFrom, current)remove current from openSetadd current to closedSetfor each neighbor of current:if neighbor is in closedSet:continuetentative_gScore gScore[current] distance(current, neighbor)if neighbor is not in openSet or tentative_gScore gScore[neighbor]:cameFrom[neighbor] currentgScore[neighbor] tentative_gScorefScore[neighbor] gScore[neighbor] heuristic(neighbor, target)if neighbor is not in openSet:add neighbor to openSetreturn failureFloyd算法 Floyd算法用于解决所有节点对之间的最短路径问题。它采用动态规划的思想通过中间节点的遍历来更新任意两个节点之间的最短路径。 通过Floyd计算图G(V,E)中各个顶点的最短路径时需要引入一个矩阵S矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。 假设图G中顶点个数为N则需要对矩阵S进行N次更新。初始时矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点 i 到顶点 j 的权值如果 i 和 j 不相邻则a[i][j]∞。 接下来开始对矩阵 S 进行N次更新。 第1次更新时如果a[i][j]的距离 “a[i][0]a[0][j]”(a[i][0]a[0][j]表示 i 与 j 之间经过第1个顶点的距离)则更新a[i][j]为a[i][0]a[0][j]“。 同理第k次更新时如果a[i][j]的距离” “a[i][k]a[k][j]”则更新a[i][j]为a[i][k]a[k][j]。更新N次之后操作完成 function FloydWarshall(Graph):let dist be a matrix of size VxV, initialized with infinityfor each edge (u, v) in Graph:dist[u][v] weight(u, v)for k from 1 to V:for i from 1 to V:for j from 1 to V:if dist[i][k] dist[k][j] dist[i][j]:dist[i][j] dist[i][k] dist[k][j]return distBellman-Ford算法 Bellman-Ford算法用于在带有负权边的图中找到单源最短路径。它通过对边进行松弛操作来逐步优化到达每个节点的最短距离。解题思路就是假设有一条边 {begin,end,value} 如果 dis[begin] value dis[end] 我们可以更新 dis[end] 的值为 dis[begin] value Bellman-Ford不能计算有负权回路的图因为在负权回路中如果一直转圈的话值就会一直变小。 function BellmanFord(Graph, source):create a list of size V called distance and set distance[source] 0for i from 1 to V-1:for each edge (u, v) in Graph:if distance[u] weight(u, v) distance[v]:distance[v] distance[u] weight(u, v)for each edge (u, v) in Graph:if distance[u] weight(u, v) distance[v]:return Graph contains a negative-weight cyclereturn distanceSPFA算法 SPFA算法也用于在带有负权边的图中找到单源最短路径。它采用了队列来优化Bellman-Ford算法通过动态选择要松弛的节点减少了不必要的松弛操作提高了算法的效率。 function SPFA(Graph, source):create a queue Qenqueue source into Qcreate a set visited and add source to itcreate a map distance and set distance[source] 0while Q is not empty:current dequeue from Qremove current from visitedfor each neighbor of current:if distance[current] weight(current, neighbor) distance[neighbor]:distance[neighbor] distance[current] weight(current, neighbor)if neighbor is not in visited:enqueue neighbor into Qadd neighbor to visitedreturn distance