【反比例函数】【做题笔记】【图形存在性】题目合集

news/2025/9/22 0:00:18/文章来源:https://www.cnblogs.com/M136e1/p/19104398

【反比例函数】【做题笔记】【图形存在性】题目合集

1.（2023 秋·盐城月考）

如图，点 \(A\) 在双曲线 \(y=\frac{k}{x} \ (k \neq 0)\) 的第一象限的图象上，\(AB\) 垂直于 \(y\) 轴于点 \(B\)，点 \(C\) 在 \(x\) 轴的正半轴上，且 \(OC=3AB\)，点 \(E\) 在线段 \(AC\) 上，且 \(AE=3EC\)，点 \(D\) 为 \(OB\) 的中点，若 \(\triangle ADE\) 的面积为 \(3\)，求 \(k\) 值。

设 \(AB=a\)，则 \(OC=3a,OB=\frac{k}{a},BD=DO=\frac{k}{2a}\)。

【解法一】面积法

连接 \(DC\)，可知：

\[S_{梯形ABOC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADC}+S_{\triangle DOC} \]

所以 \(S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{k}{2a}=\frac{k}{4}\)。

\(S_{\triangle DOC }=\frac{1}{2} \cdot 3a \cdot \frac{k}{2a}=\frac{3k}{4}\)。

又因为 \(\triangle AOE,\triangle DEC\) 同高，且 \(AE=3EC,S_{\triangle ADE}=3\)。

所以 \(S_{\triangle ADC}=4\)。

又因为 \(S_{梯形 ABOC}=\frac{1}{2}(a+3a)\frac{k}{a}=2k\)。

所以：

\[\frac{3k}{4}+\frac{k}{4}+4=2k \]

解得 \(k=4\)。

【解法一】面积法、相似

如图，作 \(AG,EF \perp x\) 轴。

可知 \(\triangle AGC \sim \triangle EFC\)。

同理可得 \(EC=\frac{k}{4a},FG=\frac{3k}{2},GC=\frac{k}{2}\)。

所以，有

\[S_{\triangle ADE} = S_{梯形 AOBC}-(S_{\triangle ABD} + S_{\triangle EGC} + S_{梯形 DOGE}) \]

可列方程：

\[\frac{1}{2} \times \frac{k}{2a} \cdot a - \left[ \left(\frac{k}{2a} + \frac{k}{4a} \right) \cdot \frac{5a}{2} + \frac{k}{4} + \frac{k}{4a} \times \frac{1}{2}\right] = 3 \]

解得 \(k=4\)。

2.（2023·顺德区三模）等积转化

如图，平行于 \(y\) 轴的直尺（部分）与反比例函数 \(y=\frac{m}{x}(x>0)\) 的图象交于 \(A,C\) 两点与 \(x\) 轴交于 \(B,D\) 两点，连接 \(AC\)，点 \(A,B\) 对应直尺上的刻度分别为 \(5,2\)，直尺的宽度 \(BD=2,S_{\triangle AOC}=5\)，求点 \(C\) 的坐标。

由题意得 \(A(3,\frac{m}{3})\)，则 \(B(\frac{m}{3},0)\)。

所以 \(D(\frac{m}{3}+2,0)\)，将 \(x_C\) 代入 \(y=\frac{m}{x}\)，得 \(C(\frac{m}{3}+2,\frac{3m}{m+6})\)。

所以 \(CD=\frac{3m}{m+6}\)。

有如下定理：\(S_{\triangle AOC}=S_{梯形 ABDC}\)。

因为根据反比例函数的性质，\(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}=\frac{|m|}{2}\)。

减去公共部分就会发现，有一个三角形和一个梯形面积相等。所以直接转化面积。所以：

\[\frac{1}{2} \cdot 2 \left( \frac{3m}{m+6} +3 \right) =5 \]

解得 \(m=12\)。直接代入，得 \(C(6,2)\)。

3.（2024·顺河区校级一模）

如图，一次函数 \(y=ax+b\) 的图象与反比例函数 \(y=\frac{k}{x}\) 的图象交于第一象限 \(C(1,4),D(4,m)\) 两点，与坐标轴交于 \(A\)、\(B\) 两点, 连接 \(OC,OD\)（\(O\) 是坐标原点）。

求一次函数与反比例函数的解析式。
将直线 \(AB\) 向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？

第一问直接跳过，得 \(y=\frac{4}{x},l_{AB}:y=-x+5\)。

对于第二问，设 \(l_{AB}':y=-x+5-m\)。

\( \left\{\begin{matrix} y=\frac{4}{x}\\ l_{AB}:y=-x+5 \end{matrix}\right. \) 得 \(x^2-(5-m)x+4=0\)。

令 \(\Delta=0\)，解得 \(m_1=9,m_2=1\)。

4.（2025·市中区一模）

如图 \(1\)，在平面直角坐标系中，矩形 \(OCBA\) 的顶点 \(C,A\) 分别在 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的正半轴上，反比例函数 \(y=\frac{k}{x}\) 的图象与 \(AB,BC\) 分别交点 \(D,E\)，且顶点 \(B\) 的坐标为 \((6,3),BD=2\)。

求反比例函数 \(y=\frac{k}{x}\) 的表达式及 \(E\) 点坐标;
如图 \(2\)，连接 \(DE,AC\)，试判断 \(D E\) 与 \(AC\) 的数量和位置关系，并说明理由。
如图 \(3\)，连接 \(AE\)，在反比例函数 \(y=\frac{k}{x}\) 的图象上是否存在点 \(F\)，使得 \(∠AEF=45°\)，若存在，请求出点 \(F\) 的坐标；若不存在，说明理由。