传送门
题意
给你一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，构建一个无向图：若 \(a_i | a_j\)，则在 \(i\) 和 \(j\) 中连边。
求最少删除多少个点，才能使得剩下的图是二分图。
思路
首先，我们知道倍数关系是一个偏序关系，即 \(a_i | a_j, a_j | a_k \rightarrow a_i | a_k\)。
所以，一旦出现了一个长度 \(\ge 3\) 的链，那么就会出现奇环，就不可能是二分图。
也就是说，最后的图中每个点的度数都 \(le 1\)，可以将边定向（不妨设是大的数向小的数连边），转换成每个点要么有入度，要么有出度。
考虑拆点，\(x_0\) 表示 \(x\) 这个数有出度，\(x_1\) 则表示这个点有入度。
拆点后，将互相矛盾的状态连边（无向边），得到一个新图，显然，这个图的最大独立集就是最后能保留下来最多的数个数。
但是，普通图的最大独立集是 NPC，考虑怎么转换这个图。
因为我们就是从一个有偏序关系的图得到的这个图，很自然地想让它也有偏序关系。
把这个图定向，变成有向图（大连向小），显然得到了一个 DAG，同时还是偏序集。
那么这个时候，答案是这个图的最大独立集，也是偏序集的最长反链。
根据 Dilworth 定理，可以转换为偏序集的最小链覆盖，做完了。
补充知识
最小链覆盖
即，在一个图上用最少的链覆盖这个图的所有边。
求法
拆点，将每个点拆成入点和出点。
把每条边转换，得到了一个二分图。
此时，每一个匹配都会将两个链合并，于是最小链覆盖 = 总点数 - 最大匹配 = 总点数 - 最大流
偏序集及相关知识
偏序集
若集合 \(S\) 和其上的一个二元关系 \(\preceq\) 满足性质：
- 自反性：\(\forall a \in S, a \preceq a\)
- 反对称性：\(\forall a, b \in S, a \preceq b \land b \preceq a \Rightarrow a = b\)
- 传递性：\(\forall a, b, c \in S, a \preceq b \land b \preceq c \Rightarrow a \preceq c\)
则 \(S\) 是偏序集，\(\preceq\) 是其上的偏序。
一个显然的例子是 \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) 都关于二元关系 \(\leq\) 构成偏序。
全序集
类比偏序集理解。
若集合 \(S\) 和其上的一个二元关系 \(\preceq\) 满足性质：
- 自反性：\(\forall a \in S, a \preceq a\)
- 反对称性：\(\forall a, b \in S, a \preceq b \land b \preceq a \Rightarrow a = b\)
- 传递性：\(\forall a, b, c \in S, a \preceq b \land b \preceq c \Rightarrow a \preceq c\)
- 连接性：\(\forall a, b \in S, a \not = b \Rightarrow a \preceq b \lor b \preceq a\)
则 \(S\) 为全序集，\(\preceq\) 是其上的全序。
偏序集的链与反链
偏序集 \(S\) 上的链是其全序子图 \(T\)，具体地，\(\forall a, b \in T, a \not = b \Rightarrow a \preceq b \lor b \preceq a\)。
即链上的任意两点都可以比较（可以比较即在某一顺序上满足偏序关系）。
偏序集 \(S\) 上的反链是集合 \(T\) 满足，\(\forall a, b \in T, a \not = b \Rightarrow a \not \preceq b \land b \not \preceq a\)。
即反链上任意两点都不可以比较。
——打造C++ IDE 续)
