【参考资料】

1. 同济大学《高等数学》教材
2. 樊顺厚老师B站《高等数学精讲》系列课程 （注：本笔记为个人数学复习资料，旨在通过系统化整理替代厚重教材，便于随时查阅与巩固知识要点）

仅用于个人数学复习，因为课本太厚了而且不方便带着，所以才整理这样一份笔记。

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一、数列的极限

1.1 无穷的本质：你先说

我们先来看几个具体的数列例子：

• 数列：$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots ,\frac{n}{n+1},\dots$ 通项公式为：$x_n=\frac{n}{n+1}$

• 数列：$2,4,8,\dots ,2^n,\dots$ 通项公式为：$x_n=2^n$

• 数列：$1,-1,1,\dots ,(-1{)}^{n+1},\dots$ 通项公式为：$x_n=(-1{)}^{n+1}$

对于任意给定的正数 $M>0$（你先给个$M$），总存在某个时刻 $N$，使得当 $n>N$ 时，对应的数列项 $x_n$ 满足： $x_n>M$

$\left\{\frac{n}{n+1}\right\}$ 当 $n\to \infty$ 时，$\frac{n}{n+1}$ 无限接近于 $1$。

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1.2 极限的严格定义

为了更精确地描述“无限接近”的概念，我们需要引入极限的严格定义。对于任意给定的正数 $\epsilon >0$（无论这个 $\epsilon$ 多么小），总存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，以下不等式成立：

$$\left|\frac{n}{n+1}-1\right|<\epsilon$$

换句话说，对于任意小的正数 $\epsilon$，我们总能找到一个时刻 $N$，使得当 $n>N$ 时，数列项 $\frac{n}{n+1}$ 与 $1$ 的差的绝对值小于 $\epsilon$。

Def: 设 { x n } \{x_n\} {xn​} 是一个数列。如果存在一个常数 $a$，使得对任给的 $\epsilon >0$，存在一个 $N$，当 $n>N$ 时，不等式

$$|x_n-a|<\epsilon$$

都成立，则称 $a$ 为数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 的极限，记作：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$

如果 {$x_n$} 极限存在，也称为 {$x_n$} 收敛，否则是发散。等价关系如下：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a⟺\{\begin{array}{l}\forall \epsilon >0,\\ \exists N>0,\\ \text{使得当 }n>N\text{ 时},\\ |x_n-a|<\epsilon \end{array}$$

几何意义：

对于任意给定的正数 $\epsilon >0$，如果存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，以下不等式成立：

$$|x_n-a|<\epsilon$$

这可以进一步展开为：

$$-\epsilon <x_n-a<\epsilon$$

从而得到：

$$a-\epsilon <x_n<a+\epsilon$$

这意味着当 $n>N$ 时，数列项 $x_n$ 都位于区间 $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$ 内，即：

$$x_n\in U(a,\epsilon )$$

其中 $U(a,\epsilon )$ 表示以 $a$ 为中心、半径为 $\epsilon$ 的邻域。

即：$N$ 项之后，每一项都落在邻域 $U(a,\epsilon )$ 内，只有有限项落在 $U(a,\epsilon )$ 外。

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1.3 一个简单题

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=1$$

证明：

对任意给定的 $\epsilon >0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，有：

$$\left|\frac{n}{n+1}-1\right|<\epsilon$$

因为 $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$， 所以只要 $\frac{1}{n}<\epsilon$，即$n>\frac{1}{\epsilon }$

那么，取 $N=\left[\frac{1}{\epsilon }\right]+1$，当 $n>N$ 时，有：

$$\left|\frac{n}{n+1}-1\right|=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}<\epsilon$$

$$\therefore \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=1$$

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二、收敛数列的性质

2.1 极限唯一性

Th1（极限的唯一性）：数列的极限存在，必唯一。

证：(用反证法)

假设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=b$，且 $a<b$。

由数列极限的定义，对 $\epsilon =\frac{b-a}{3}$，则 $\exists N_1>0$，当 $n>N_1$ 时，

$$|x_n-a|<\frac{b-a}{3}\text{(1)}$$

又 $\exists N_2>0$，当 $n>N_2$ 时，

$$|x_n-b|<\frac{b-a}{3}\text{(2)}$$

取 $N=\max (N_1,N_2)$，当 $n>N$ 时，同时满足不等式(1)和(2)。

$$\begin{gathered} b-a=\left|(x_n-a)-(x_n-b)\right| \\ \le |x_n-a|+|x_n-b| \\ <\frac{b-a}{3}+\frac{b-a}{3}=\frac{2}{3}(b-a) \\ 矛盾！ \end{gathered}$$

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2.2 收敛数列有界性

若存在正数 $M>0$ ，使得$|x_n|\le M$对一切 $n$ 成立，则称数列 { x n } \{x_n\} {xn​}为有界数列。

Th2：收敛数列必有界。（但是有界不一定收敛，如sinx）

证： 设 { x n } \{x_n\} {xn​}为收敛数列

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$

由极限的定义.：对于$\epsilon =1$，存在$N>0$, $\forall n>N$时，$|x_n-a|<1$

$$\begin{gathered} |x_n|=|(x_n-a)+a| \\ \le |x_n-a|+|a|<1+|a| \end{gathered}$$

取 M = max ⁡ { ∣ x 1 ∣ , ∣ x 2 ∣ , … , ∣ x N ∣ , 1 + ∣ a ∣ } M = \max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|, 1 + |a|\} M=max{∣x1​∣,∣x2​∣,…,∣xN​∣,1+∣a∣}，则对一切$n$，有：

∣ x n ∣ ≤ M ∴ { x n } 为有界数列 |x_n| \leq M \\[1em] \therefore \{x_n\} 为有界数列 ∣xn​∣≤M∴{xn​}为有界数列

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2.3 收敛数列的保号性

如果${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$存在且$a>0$，则存在正整数$N>0$，当$n>N$时，都有$x_n>0$。如果 $a<0$，同理。

证： 由于${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，若$a>0$

由定义 对$\epsilon =\frac{a}{2}$，存在$N>0$，当$n>N$时

$$|x_n-a|<\frac{a}{2}$$

$$-\frac{a}{2}<x_n-a<\frac{a}{2}$$

此时：$(n>N)$

$$\begin{gathered} x_n>a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}>0 \\ 证毕！ \end{gathered}$$

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2.4 收敛数列和子数列

Th4：如果数列 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛于$a$，则它的任一子数列也收敛且收敛于$a$。

证： 由于${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，∴ 对任意给定的 $\epsilon >0$，存在$N$，当$n>N$时。

$$|x_n-a|<\epsilon$$

取$K=N$，当$k>K$时：

$$\begin{gathered} n_k>n_K\ge N \\ |x_{n_k}-a|<\epsilon \\ \therefore \underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}=a \end{gathered}$$

一个简单题：

要证明数列 ${\lim }_{n\to \infty }(-1{)}^{n+1}$ 不存在，我们可以利用子数列的性质。根据子数列定理，如果一个数列收敛于某个极限 $a$，那么它的任意子数列也收敛于同一个极限 $a$。

我们考虑数列 { x n } = ( − 1 ) n + 1 \{x_n\} = (-1)^{n+1} {xn​}=(−1)n+1 的两个子数列：

1. 子数列 { x 2 k − 1 } \{x_{2k-1}\} {x2k−1​}，即所有奇数项组成的子数列：
   $$x_{2k-1}=(-1{)}^{(2k-1)+1}=(-1{)}^{2k}=1$$
   因此，这个子数列是常数序列 1，显然有：
   $$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{2k-1}=1$$

2. 子数列 { x 2 k } \{x_{2k}\} {x2k​}，即所有偶数项组成的子数列：
   $$x_{2k}=(-1{)}^{2k+1}=-1$$
   因此，这个子数列是常数序列 -1，显然有：
   $$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{2k}=-1$$

由于这两个子数列分别收敛于不同的极限值 1 和 -1，根据子数列定理，原数列 { x n } = ( − 1 ) n + 1 \{x_n\} = (-1)^{n+1} {xn​}=(−1)n+1 不能收敛于任何一个确定的极限值。因此，可以得出结论：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(-1{)}^{n+1}\text{ 不存在}$$

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2.4 两个推论（省略证明）

1. 推论1：如果数列 {$x_n$} 从某一项起， $x_n\ge 0$ （$x_n\le 0$），${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，则 $a\ge 0$ （$a\le 0$）

2. 推论2：设${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$，${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=b$，若$a<b$，则存在正整数$N>0$，使$n>N$时$b_n>a_n$

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三、函数极限

对任意给定的 $\epsilon >0$，存在 $X>0$，当 $x>X$ 时，都有 $|f(x)-A|<\epsilon$，则称 $A$ 是 $f(x)$ 当 $x\to \infty$ 的极限。

几何意义： $y=A$ 是 $y=f(x)$ 图形的水平渐近线。

求下式子：

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

当 $x\ne 1$:

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$$

$$f(x)=x+1$$

所以，当 $x\ne 1$ 时,

$$f(x)=x+1$$

当 $x=1$ 时：

对任意给定的 $\epsilon >0$，要找到一个 $\delta >0$，使得当 $0<|x-1|<\delta$ 时，

$$\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\epsilon$$

由于 $f(x)=x+1$ 当 $x\ne 1$，因此：

$$|x+1-2|=|x-1|$$

所以，只要取 $\delta =\epsilon$，当 $0<|x-1|<\delta$ 时，就有：

$$|x-1|<\epsilon$$

这表明对任意 $\epsilon >0$，确实存在 $\delta =\epsilon >0$，使得当 $0<|x-1|<\delta$ 时，有：

$$\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|<\epsilon$$

因此，${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$。

注： 定义中 $0<|x-x_0|$表示$x\ne x_0$，讨论$x\to x_0$时只考虑$x\ne x_0$，且${\lim }_{x\to x_0}f(x)$是否存在与$f(x_0)$是否有定义无关。

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺\{\begin{array}{l}\forall \epsilon >0\\ \exists \delta >0\\ \text{当 }0<|x-x_0|<\delta \text{ 时}\\ |f(x)-A|<\epsilon \end{array}$$