【算法基础】快速排序算法

一、算法基础

1.1 什么是快速排序

快速排序（Quick Sort）是一种高效的分治排序算法，由英国计算机科学家Tony Hoare于1960年提出。它的核心思想是：

选择一个基准元素（pivot）
将数组分成两部分：小于基准的元素和大于基准的元素
递归地对这两部分进行排序

快速排序是实际应用中最常用的排序算法之一，平均情况下时间复杂度为O(n log n)，空间复杂度为O(log n)。

1.2 快速排序的基本思想

选择基准：从数组中选择一个元素作为基准（通常是第一个元素、最后一个元素或中间元素）
分区操作：将数组中小于基准的元素放在基准的左边，大于基准的元素放在右边
递归排序：对基准左右两部分分别进行递归排序

这个过程被称为分区（Partition），是快速排序的核心操作。

1.3 时间复杂度分析

最佳情况：O(n log n) —— 每次分区操作都将数组均匀地分成两部分
平均情况：O(n log n) —— 大多数情况下的性能表现
最差情况：O(n²) —— 当数组已经有序或几乎有序时，选择第一个或最后一个元素作为基准

二、快速排序的实现

2.1 基本实现

public class QuickSort {public static void sort(int[] arr) {if (arr == null || arr.length <= 1) {return;}quickSort(arr, 0, arr.length - 1);}private static void quickSort(int[] arr, int left, int right) {if (left < right) {// 获取分区点int pivotIndex = partition(arr, left, right);// 递归排序左半部分quickSort(arr, left, pivotIndex - 1);// 递归排序右半部分quickSort(arr, pivotIndex + 1, right);}}private static int partition(int[] arr, int left, int right) {// 选择最右边的元素作为基准int pivot = arr[right];// i是小于基准区域的边界int i = left - 1;// 遍历区间，将小于基准的元素放到左边for (int j = left; j < right; j++) {if (arr[j] <= pivot) {i++;// 交换元素swap(arr, i, j);}}// 将基准元素放到正确的位置swap(arr, i + 1, right);// 返回基准元素的索引return i + 1;}private static void swap(int[] arr, int i, int j) {int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;}
}

2.2 递归过程分析

假设有数组：[8, 4, 2, 9, 5, 7, 6, 1, 3]

第一次分区：
- 选择基准值 3（最后一个元素）
- 分区后：[1, 2, 3, 9, 5, 7, 6, 8, 4]
- 基准索引：2
左子数组递归：[1, 2]
- 选择基准值 2
- 分区后：[1, 2]
- 基准索引：1
右子数组递归：[9, 5, 7, 6, 8, 4]
- 选择基准值 4
- 分区后：[4, 5, 7, 6, 8, 9]
- 基准索引：0
继续递归...

最终得到排序结果：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

三、快速排序的优化

3.1 基准选择优化

选择好的基准可以显著提高快速排序的性能。最常用的优化方法是三数取中（Median-of-Three）：

private static int selectPivot(int[] arr, int left, int right) {int mid = left + (right - left) / 2;// 将三个元素排序if (arr[left] > arr[mid]) {swap(arr, left, mid);}if (arr[left] > arr[right]) {swap(arr, left, right);}if (arr[mid] > arr[right]) {swap(arr, mid, right);}// 将中间值（基准）交换到right-1位置swap(arr, mid, right - 1);return arr[right - 1];
}

3.2 小数组使用插入排序

对于小规模数组（通常小于10个元素），插入排序比快速排序更高效：

private static void quickSort(int[] arr, int left, int right) {// 小数组使用插入排序if (right - left <= 10) {insertionSort(arr, left, right);return;}// 正常的快速排序过程if (left < right) {int pivotIndex = partition(arr, left, right);quickSort(arr, left, pivotIndex - 1);quickSort(arr, pivotIndex + 1, right);}
}private static void insertionSort(int[] arr, int left, int right) {for (int i = left + 1; i <= right; i++) {int key = arr[i];int j = i - 1;while (j >= left && arr[j] > key) {arr[j + 1] = arr[j];j--;}arr[j + 1] = key;}
}

3.3 尾递归优化

通过将递归调用替换为迭代，可以避免栈溢出：

private static void quickSort(int[] arr, int left, int right) {while (left < right) {int pivotIndex = partition(arr, left, right);// 递归处理较小的子数组，迭代处理较大的子数组if (pivotIndex - left < right - pivotIndex) {quickSort(arr, left, pivotIndex - 1);left = pivotIndex + 1;} else {quickSort(arr, pivotIndex + 1, right);right = pivotIndex - 1;}}
}

四、典型应用：荷兰国旗问题

荷兰国旗问题是快速排序的一个典型应用，它要求将数组分成三个部分：小于、等于、大于某个值的元素。这种分区方法也称为三向切分。

4.1 问题描述

给定一个数组和一个基准值，将数组重新排列，使得所有小于基准的元素在左边，等于基准的元素在中间，大于基准的元素在右边。

4.2 解法实现

public static void dutchFlagPartition(int[] arr, int pivot) {int left = 0;       // 小于pivot的区域右边界int current = 0;    // 当前处理的元素int right = arr.length - 1;  // 大于pivot的区域左边界while (current <= right) {if (arr[current] < pivot) {// 小于pivot的元素放左边swap(arr, left, current);left++;current++;} else if (arr[current] > pivot) {// 大于pivot的元素放右边swap(arr, current, right);right--;// 注意：此时不增加current，因为交换来的元素还未处理} else {// 等于pivot的元素保持原位current++;}}
}

4.3 应用到快速排序

使用三向切分可以优化快速排序，特别是处理有大量重复元素的数组：

private static void quickSort3Way(int[] arr, int left, int right) {if (left >= right) {return;}// 记录小于、等于、大于pivot的三个区域边界int lt = left;      // 小于pivot的区域右边界int gt = right;     // 大于pivot的区域左边界int i = left + 1;   // 当前处理的元素int pivot = arr[left];while (i <= gt) {if (arr[i] < pivot) {swap(arr, lt++, i++);} else if (arr[i] > pivot) {swap(arr, i, gt--);} else {i++;}}// 递归处理小于和大于的部分quickSort3Way(arr, left, lt - 1);quickSort3Way(arr, gt + 1, right);
}

五、完整实现与示例

以下是一个包含各种优化的完整快速排序实现：

public class OptimizedQuickSort {private static final int INSERTION_SORT_THRESHOLD = 10;public static void sort(int[] arr) {if (arr == null || arr.length <= 1) {return;}quickSort(arr, 0, arr.length - 1);}private static void quickSort(int[] arr, int left, int right) {// 小数组使用插入排序if (right - left <= INSERTION_SORT_THRESHOLD) {insertionSort(arr, left, right);return;}// 使用三数取中法选择基准medianOfThree(arr, left, right);int pivot = arr[right - 1];// 分区int i = left;int j = right - 1;for (;;) {while (arr[++i] < pivot) {}while (arr[--j] > pivot) {}if (i >= j) break;swap(arr, i, j);}// 将基准放回正确位置swap(arr, i, right - 1);// 递归排序quickSort(arr, left, i - 1);quickSort(arr, i + 1, right);}private static void medianOfThree(int[] arr, int left, int right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (arr[left] > arr[mid]) {swap(arr, left, mid);}if (arr[left] > arr[right]) {swap(arr, left, right);}if (arr[mid] > arr[right]) {swap(arr, mid, right);}// 将基准（中间值）放到right-1位置swap(arr, mid, right - 1);}private static void insertionSort(int[] arr, int left, int right) {for (int i = left + 1; i <= right; i++) {int key = arr[i];int j = i - 1;while (j >= left && arr[j] > key) {arr[j + 1] = arr[j];j--;}arr[j + 1] = key;}}private static void swap(int[] arr, int i, int j) {int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;}public static void main(String[] args) {int[] arr = {8, 4, 2, 9, 5, 7, 6, 1, 3};System.out.println("原始数组: " + Arrays.toString(arr));sort(arr);System.out.println("排序后数组: " + Arrays.toString(arr));}
}