TF-IDF（Term Frequency-Inverse Document Frequency）是一种用于信息检索和文本挖掘的统计方法，用来评估一个词语对于一个文档集或一个语料库的重要程度。TF-IDF的基本思想是：如果一个词语在某个文档中出现的次数多，并且在其他文档中很少出现，那么该词语具有很好的区分能力，适合作为关键词。

### 一、算法概述

TF-IDF由两部分组成：词频（TF）和逆文档频率（IDF）。

1. **词频（TF）**：衡量一个词语在文档中出现的频率。
   - 公式：\[ TF(t, d) = \frac{f_{t,d}}{N_d} \]
   - 其中，\( f_{t,d} \) 是词语 \( t \) 在文档 \( d \) 中出现的次数，\( N_d \) 是文档 \( d \) 中词语的总数。

2. **逆文档频率（IDF）**：衡量一个词语在整个语料库中出现的频率。
   - 公式：\[ IDF(t, D) = \log \frac{N}{1 + n_t} \]
   - 其中，\( N \) 是语料库中文档的总数，\( n_t \) 是包含词语 \( t \) 的文档数量。

3. **TF-IDF**：词语 \( t \) 在文档 \( d \) 中的TF-IDF值。
   - 公式：\[ TF\text{-}IDF(t, d, D) = TF(t, d) \times IDF(t, D) \]

### 二、算法步骤

1. **计算词频（TF）**：
   对于每个文档，计算每个词语的词频。

2. **计算逆文档频率（IDF）**：
   对于每个词语，计算其在整个语料库中的逆文档频率。

3. **计算TF-IDF**：
   将词频和逆文档频率相乘，得到每个词语的TF-IDF值。

### 三、示例

假设我们有以下三个文档：

- 文档1：`"this is a sample"`
- 文档2：`"this is another example example"`
- 文档3：`"this example is different"`

#### 1. 计算词频（TF）

| 词语    | 文档1 (TF) | 文档2 (TF) | 文档3 (TF) |
|---------|------------|------------|------------|
| this    | 1/4        | 1/5        | 1/4        |
| is      | 1/4        | 1/5        | 1/4        |
| a       | 1/4        | 0          | 0          |
| sample  | 1/4        | 0          | 0          |
| another | 0          | 1/5        | 0          |
| example | 0          | 2/5        | 1/4        |
| different | 0        | 0          | 1/4        |

#### 2. 计算逆文档频率（IDF）

| 词语    | 出现的文档数 (nt) | IDF (log(3/(1 + nt))) |
|---------|-------------------|------------------------|
| this    | 3                 | log(3/4) = -0.125      |
| is      | 3                 | log(3/4) = -0.125      |
| a       | 1                 | log(3/2) = 0.405       |
| sample  | 1                 | log(3/2) = 0.405       |
| another | 1                 | log(3/2) = 0.405       |
| example | 2                 | log(3/3) = 0           |
| different | 1               | log(3/2) = 0.405       |

#### 3. 计算TF-IDF

| 词语    | 文档1 (TF-IDF)             | 文档2 (TF-IDF)             | 文档3 (TF-IDF)             |
|---------|----------------------------|----------------------------|----------------------------|
| this    | (1/4) * (-0.125) = -0.031  | (1/5) * (-0.125) = -0.025  | (1/4) * (-0.125) = -0.031  |
| is      | (1/4) * (-0.125) = -0.031  | (1/5) * (-0.125) = -0.025  | (1/4) * (-0.125) = -0.031  |
| a       | (1/4) * 0.405 = 0.101      | 0                          | 0                          |
| sample  | (1/4) * 0.405 = 0.101      | 0                          | 0                          |
| another | 0                          | (1/5) * 0.405 = 0.081      | 0                          |
| example | 0                          | (2/5) * 0 = 0              | (1/4) * 0 = 0              |
| different | 0                        | 0                          | (1/4) * 0.405 = 0.101      |

### 四、Python实现

以下是使用Python实现TF-IDF算法的代码示例：

```python
import math
from collections import Counter

# 文档集
documents = [
    "this is a sample",
    "this is another example example",
    "this example is different"
]

# 计算TF
def compute_tf(text):
    tf_text = Counter(text.split())
    for i in tf_text:
        tf_text[i] = tf_text[i]/float(len(text.split()))
    return tf_text

# 计算IDF
def compute_idf(word, corpus):
    return math.log(len(corpus)/(1 + sum([1 for doc in corpus if word in doc])))

# 计算TF-IDF
def compute_tfidf(corpus):
    documents_list = [doc.split() for doc in corpus]
    tfidf_docs = []
    for text in documents_list:
        tfidf = {}
        computed_tf = compute_tf(" ".join(text))
        for word in computed_tf:
            tfidf[word] = computed_tf[word] * compute_idf(word, corpus)
        tfidf_docs.append(tfidf)
    return tfidf_docs

# 计算并打印TF-IDF
tfidf_docs = compute_tfidf(documents)
for i, doc in enumerate(tfidf_docs):
    print(f"文档 {i+1} 的 TF-IDF 值：")
    for word in doc:
        print(f"{word}: {doc[word]}")
    print("\n")
```

### 五、应用场景

TF-IDF广泛应用于以下领域：

1. **信息检索**：评估文档与查询词语的相关性。
2. **文本分类**：用于特征提取，作为分类器的输入。
3. **关键词提取**：自动从文本中提取关键词。
4. **推荐系统**：分析用户评论或内容，提供个性化推荐。

通过TF-IDF算法，能够有效地识别出文本中的重要词语，从而在信息检索、文本分析和自然语言处理等领域发挥重要作用。