C语言入门算法——爬楼梯（了解动态规划）

题目描述：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

1 <= n <= 45

`题目来源：爬楼梯`

思路及部分代码：

1. 分析

通过题目我们可以了解到 f(n) 的方法是上一台阶 f(n-1) ——爬一阶台阶到达 f(n) 加上上两阶台阶到达 f(n) 。所以可得 f(n) = f(n - 1) + f(n-2)；

2. dynamic() 直接递归（超时）

此函数重复计算，导致时间不够。


int dynamic(int n){if(n == 1) return 1;else if(n == 2) return 2;else{ //大于阶梯数//方法有 f(n) = f(n -1) + f(n - 2);return dynamic(n-1) + dynamic(n-2);}
}

3. dynamic_1(); 从1到n（通过）

通过从1计算到n并保存之前的f(n-1) 和f(n-2)


int dynamic_1(int i, int a1, int a2,int n){if(i == 1){a1 = 0;a2 = 1;}if(i >= n) return a1+a2;else return dynamic_1(i+1, a2, a1+a2,n);
}

4. dynamic_2(); 数组（通过）

在了解动态规划时，看见要用数组，就想到了这样，显示这种和dynamic_1();的方法一样，只是将a1,a2；改成了数组而已。（不是动态规划）


int num[3] = {0,0,0};
int dynamic_2(int i, int n){//更新数据if(i == 1){num[0] = 0;num[1] = 1;num[2] = num[0] + num[1];}else{num[0] = num[1];num[1] = num[2];num[2] = num[0] + num[1];}if(i >= n) return num[2];else return dynamic_2(i+1,n);
}

5. dynamic_3(); 动态规划（通过）

动态规划算法：（百度）核心思想是将问题分解为若干个子问题，并保存这些子问题的解，以便在解决原始问题时可以重复使用，避免重复计算，从而提高算法的效率。动态规划特别适用于那些具有“最优子结构和重叠子问题”特性的问题，在动态规划中，原问题被分解为相对简单的子问题，这些子问题按顺序求解，并通过保存它们的解来避免重复计算，最终通过组合这些子问题的解来得到原问题的解。

理解：1. 减少重复计算 2.用小问题叠加解决大问题


//动态规划
int dynamic_3(int n){int dp[n+1];dp[0] = 1;dp[1] = 1;for(int i = 2; i<n+1;i++){dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];}return dp[n];
}

总代码：


int dynamic(int n){if(n == 1) return 1;else if(n == 2) return 2;else{ //大于阶梯数//方法有 f(n) = f(n -1) + f(n - 2);return dynamic(n-1) + dynamic(n-2);}
}int dynamic_1(int i, int a1, int a2,int n){if(i == 1){a1 = 0;a2 = 1;}if(i >= n) return a1+a2;else return dynamic_1(i+1, a2, a1+a2,n);
}int num[3] = {0,0,0};
int dynamic_2(int i, int n){//更新数据if(i == 1){num[0] = 0;num[1] = 1;num[2] = num[0] + num[1];}else{num[0] = num[1];num[1] = num[2];num[2] = num[0] + num[1];}if(i >= n) return num[2];else return dynamic_2(i+1,n);
}//动态规划
int dynamic_3(int n){int dp[n+1];dp[0] = 1;dp[1] = 1;for(int i = 2; i<n+1;i++){dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];}return dp[n];
}int climbStairs(int n) {//return dynamic(n);//return dynamic_1(1,0,0,n);//return dynamic_2(1,n);return dynamic_3(n);
}

总结：

了解动态规划，减小运行时间，在题目越来越难的情况下，原本的暴力手段已经不足以解决问题，只有通过学习不同的算法才能完成更高难度的题目，以下是本次总结。

不足之处：

递归方法 (dynamic 和 dynamic_1)：
- 使用递归方式解决问题，但存在效率问题，特别是对于较大的输入值。
- 在 dynamic_1 中，变量传递方式可能不够清晰。
递归方法使用全局变量 (dynamic_2)：
- 使用全局变量 num 来存储中间结果，避免了重复计算。
- 全局变量的使用增加了代码的复杂性和维护难度。
动态规划方法 (dynamic_3)：
- 使用动态规划来解决问题，避免了递归中的重复计算问题。
- 效率较高，适用于大规模问题的解决。