P1010 [NOIP1998 普及组] 幂次方

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题目

洛谷 P1010 [NOIP1998 普及组] 幂次方

[NOIP1998 普及组] 幂次方

题目描述

任何一个正整数都可以用 $2$ 的幂次方表示。例如 $137=2^7+2^3+2^0$ 。

同时约定次方用括号来表示，即 $a^b$ 可表示为 $a (b)$ 。

由此可知， $137$ 可表示为 $2 (7) + 2 (3) + 2 (0)$

进一步：

$7= 2^2+2+2^0$ ( $2^1$ 用 $2$ 表示)，并且 $3=2+2^0$ 。

所以最后 $137$ 可表示为 $2 (2 (2) + 2 + 2 (0)) + 2 (2 + 2 (0)) + 2 (0)$ 。

又如 $1315=2^{10} +2^8 +2^5 +2+1$

所以 $1315$ 最后可表示为 $2 (2 (2 + 2 (0)) + 2) + 2 (2 (2 + 2 (0))) + 2 (2 (2) + 2 (0)) + 2 + 2 (0)$ 。

输入格式

一行一个正整数 $n$ 。

输出格式

符合约定的 $n$ 的 $0, 2$ 表示（在表示中不能有空格）。

样例 #1

样例输入 #1
1315
样例输出 #1
2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)
提示

【数据范围】

对于 $100\%$ 的数据， $\le n \le 2\times {10}^4$ 。

NOIP1998 普及组第三题

想法

虽然题目确实写得很清楚了，但是可以梳理一下这个过程。一起理解一下题目吧。以 $137$ 为例，有以下过程：
$137=2^7+2^3+2^0=2^{2^2+2+2^0}+2^3+2^0=2^{2^2+2+2^0}+2^{2+2^0}+2^0$ 。
所以嘛，数字 $137$ 最后表示为了 $2 (2 (2) + 2 + 2 (0)) + 2 (2 + 2 (0)) + 2 (0)$ 。
像这样的题目，一定是会想到写一个递归函数来处理这样的问题，这是最重要的。当然，本题也考察了数字转化为二进制。

实现

将数字转化为二进制。
拆分二进制，找出二进制中 $1$ 所在的位置。
递归重复以上过程，直到将数字拆分得只剩下 $2$ 和 $0$ 。
输出。

题解

C++

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string to_bin(int n){ //将十进制转换为2进制string digit = "01"; //位if(n == 0){return "";}return to_bin(n / 2) + digit[n % 2];
}vector<int> getbits(int n){ //获取二进制中1所在的位置string m = to_bin(n); //获取二进制reverse(m.begin(),m.end()); //反转，方便一会儿的遍历vector<int> bits; //建列表for(int i = 0;i < m.size();i++){ //遍历if(m[i] == '1'){ //找到二进制中1的位置bits.push_back(i); //记录下来}}return bits; //返回
}string split(int x){ //递归将数字拆分为只有2和0的形式vector<int> bits = getbits(x); //获取1所在的位置reverse(bits.begin(),bits.end()); //反转，低位先遍历，高位后遍历string str = ""; //记录for(int i = 0;i < bits.size();i++){str += '2'; //无论如何先整一个2上去if(bits[i] > 2){ //如果当前的位大于2str += '(' + split(bits[i]) + ')'; //那么需要拆}else if(bits[i] == 2){ //如果等于2str += "(2)"; //那就加个2}else if(bits[i] == 0){ //如果等于0str += "(0)"; //那就加个0}str += "+"; //记得放上加号}return str.substr(0,str.size() - 1); //因为在前面的处理中会导致字符串末尾有一个冗余的加号，所以需要去掉
}int main(){int num;cin >> num; //输入cout << split(num); //输出return 0;
}

Python

num = int(input()) #输入
def to_bin(n): #将十进制转换为2进制digit = "01" #获取二进制if n == 0:return ""return to_bin(int(n / 2)) + digit[n % 2]def getbits(n):m = to_bin(n)[::-1] #反转，方便一会儿的遍历bits = [] #建列表for i in range(len(m)): #遍历if m[i] == "1": #找到二进制中1的位置bits.append(i) #记录下来return bits #返回def split(x): #递归将数字拆分为只有2和0的形式bits = getbits(x) #获取1所在的位置string  = "" #记录for i in reversed(bits): #反转，低位先遍历，高位后遍历string += "2" #无论如何先整一个2上去if i > 2: #如果当前的位大于2string += "(" + split(i) + ")" #那么需要拆elif i == 2: #如果等于2string += "(2)" #那就加个2elif i == 0: #如果等于0string += "(0)" #那就加个0string += "+" #记得放上加号return string[:-1] #因为在前面的处理中会导致字符串末尾有一个冗余的加号，所以需要去掉print(split(num)) #输出