【线性代数与矩阵论】矩阵的谱半径与条件数

矩阵的谱半径与条件数

2023年11月18日

文章目录

矩阵的谱半径与条件数
- 1. 矩阵的谱半径
- 2. 谱半径与范数的关系
- 3. 矩阵的条件数
- 下链

1. 矩阵的谱半径

定义设 ${A\in \mathbb C^{n \times n} }$ ， $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n}$ 是A的特征值，则称
$\rho(A)=\max_{1\le i\le n}| \lambda_i|$
为矩阵 ${A}$ 的谱半径。矩阵的谱指的是一个矩阵的特征值的集合。

定理设 ${A\in \mathbb C^{n \times n} }$ ，则

${\rho(A^ \mathrm H)=\rho(A^ \mathrm T)=\rho(A)}$
${\rho(A^k)=[\rho(A)]^k}$
当 ${A}$ 是正规矩阵时， ${\rho(A)= || A ||_{2 }}$

2. 谱半径与范数的关系

设 ${A\in \mathbb C^{n \times n}}$ ， ${\lambda}$ 是 ${A}$ 的一个特征值， ${x}$ 是 ${A}$ 属于 $\lambda}$ 的特征向量，则
$\lambda x$
对 $\mathbb C^{n \times n} }$ 中任一矩阵范数 $\cdot ||_{m }}$ 以及与它相容的向量范数 $\cdot ||_{v }}$ ，有
$\lambda| \cdot || x ||_{v }= || \lambda x ||_{ v}= || Ax ||_{ v} \le || A ||_{ } \cdot || x ||_{v }$
从而
$\lambda| \le || A ||_{ }$
于是有如下定理。

定理 $\rho(A)\le || A ||_{ }}$ ，其中 ${ || A ||_{ }}$ 是 ${A}$ 的任一矩阵范数。
定理设 ${A\in \mathbb C^{n \times n} }$ ，则任意 $\epsilon>0}$ ，必存在 $\mathbb C^{n \times n} }$ 上矩阵范数 $\cdot ||_{m }}$ ，使得
$||_{ m} \le \rho(A)+ \epsilon$
也就是虽然矩阵范数可能大于谱近谱半径的矩阵半径，却又总是存在无限接范数。数值分析中，谱半径可以认为是算子范数。

3. 矩阵的条件数

引理设 ${P\in \mathbb C^{n \times n} }$ ，若对 $\mathbb C^{n \times n} }$ 上的某一矩阵范数 $\cdot ||_{ }}$ 有 ${ || P ||_{ }<1}$ ，则 ${I-P}$ 可逆。
定理设 ${A\in \mathbb C_n^{n \times n} }$ 可逆， $\delta A\in \mathbb C^{n \times n} }$ 。若对 $\mathbb C^{n \times n} }$ 上的某一矩阵范数 $\cdot ||_{ }}$ 有 $A^{-1} \delta A ||_{ }<1}$ ，则

$\delta A}$ 可逆
$\delta A)^{-1} ||_{ }\le \frac{|| A^{-1} ||_{ }}{1- || A^{-1} \delta A ||_{ }}}$
${\frac{||A^{-1}- (A+ \delta A)^{-1} ||_{ }}{|| A^{-1} ||_{ }} \le \frac{|| A^{-1} \delta A ||_{ }}{1- || A^{-1} \delta A ||_{ }}}$ 矩阵扰动后逆矩阵的相对误差小于右端式子

定义设 ${A\in \mathbb C_n^{n \times n} }$ 可逆， $\cdot ||_{ }}$ 是 $\mathbb C^{n \times n} }$ 上的某一矩阵范数，称
$\text{cond}(A)= || A ||_{ } \cdot || A^{-1} ||_{ }$
为矩阵 ${A}$ 的条件数。

推论设 ${A\in \mathbb C_n^{n \times n} }$ 可逆， $\delta A\in \mathbb C^{n \times n} }$ 。若对 $\mathbb C^{n \times n} }$ 上的某一矩阵范数 $\cdot ||_{ }}$ 有 $A^{-1}|| \cdot || \delta A ||_{ }<1}$ ，则
$\frac{||A^{-1}- (A+ \delta A)^{-1} ||_{ }}{|| A^{-1} ||_{ }} \le \frac{|| A ||_{ }|| A^{-1} ||_{ }\frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}}{1-|| A ||_{ }|| A^{-1} ||_{ }\frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}}= \frac{\text{cond}(A) \frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}}{1-\text{cond}(A) \frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}}$

定理设 ${A\in \mathbb C_n^{n \times n} }$ 可逆， $\delta A\in \mathbb C^{n \times n} }$ ， ${b}$ ， $\delta b\in \mathbb C^n}$ 。若对 $\mathbb C^{n \times n} }$ 上的某一矩阵范数 $\cdot ||_{ }}$ 有 $A^{-1}|| \cdot || \delta A ||_{ }<1}$ ，则非齐次线性方程组
$\,\,\, 与 \,\,\, (A+ \delta A)(x+ \delta x)=b+ \delta b$
的解满足
$\frac{|| \delta x ||_{ v}}{|| x ||_{v }}\le \frac{\text{cond}(A) }{1-\text{cond}(A) \frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}} \bigg( \frac{|| \delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}+\frac{|| \delta b ||_{ v}}{||b ||_{ v}} \bigg)$
其中 $\cdot ||_{v }}$ 是 $\mathbb C^n}$ 上与矩阵范数 $\cdot ||_{ }}$ 相容的向量范数。
根据函数
$\frac{x}{1-x}$
的图像，当 $\text{cond}(A)}$ 很大，则说求逆或求解线性方程组是病态的。