勾股数

是指满足

的正整数，它们的通用公式为

，下边我从定义出发，利用平方差公式举例实验找规律，推导出这一通用公式。

由

可知

当

为奇数时

和

全都是奇数；当

为偶数时

和

全都是偶数。（

，与

同奇同偶）

当

时，

，

，则

，

，此时

是奇数，令

，则

，

。

由此可得到(3,4,5)(5,12,13)(7,24,25)(9,40,41)(11,60,61)(13,84,85)等勾股数组。

当

时，

，

，则

，

，此时

是偶数，令

，则

，

。

由此可得到(4,3,5)(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)(12,35,37)(14,48,50)(16,63,65)等勾股数组。

当

时，

，则

，

，此时

是3的倍数且是奇数，令

，则

，

。

由此可得到(9,12,15)(15,36,39)(21,72,75)(27,240,243)(33,180,183)(39,252,255))等勾股数组

...........

发现规律了吗？让我们来一个更直接的假设吧：

，设

，则

，

，求出

，

，即

，这可以解释为：对任意正整数a和不大于a的每一个正整数k，总是存在两个差为k的有理数，它们的平方差等于a²。

把

乘上去，得到

，这就是通用勾股数公式的形式，完毕。

让我们从头分析一下，

这一式子中有三个变量，一个约束条件，意味着只有两个独立变量，取成a和b，那么推导过程中独立变量是怎么变成a和k的呢？就在于令

时，以k取代了b。然后我们确定这个等式的通用公式用两个独立变量就可以表示，因此我们有两个独立变量后可以暴力表示，再把有理式化成等式，就可以得到一个通用公式，但这个过程中，a的含义不知不觉发生了变化。

采用相同步骤，还可以寻找

的通用公式

，令

，则

，

，解得

，

，即

，把

提到分子上后得到了最终公式

，a、b、k三个独立变量可取任意正整数。

例如，

时能得到

；取(3,2,1) 时能得到

，可继续化简为

；取(4,2,1) 时能得到

；取(4,2,3) 时能得到

；取(2,2,3) 时能得到

；取(2,2,1) 时能得到

等。

性质：1.此公式中a与b地位完全对等；

2.左边已经有了两个偶数，为了避免剩下的两个也是偶数，a、b、k中必须有1或3个奇数。

注意到这个公式无法直接生成勾股数嵌套的最简例子

，因为13、7这些数无法写成三正整数平方和，只能由(3,4,1)生成它的两倍式

，因此这个公式还是有些粗糙，可能不是最终的通用公式，但已经可以用一下了。

3.(a,b,k)的轮换能产生三种不同的三平方和，

例(5,3,1)(5,1,3)(3,1,5)轮换能导出

；

(6,2,1)(6,1,2)(2,1,6)轮换能导出

。