1.辛矩阵

（1.1）定义。 设

,

是交换幺环。定义

其中

，以及

注意，对任意

, 令

，演算知

。因此有群概形的正合列：

（1.2）等价条件。设

，利用分块矩阵计算，可知下述条件等价：

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

证明时，1.2.3.都可以直接变形得到，注意

。将3.代入

即为4.和5.。

特别地，由于一阶矩阵之间总是交换的，即n=1时第4条总成立，因此

，以及

。

（1.3）辛矩阵的例子。

的称为辛矩阵。例如：

1. ，其中
   。验证：
   。
2. ，其中
   。验证：
   。
3. ，（1.1）中验证过。
4. 验证：
   。

关于4.还要多说几句：首先

是

的子群，

以及

。

特别地，当

时，

是个群同构，即

。验证：

是酉矩阵，等价于

，展开并比较实虚部即为

的条件。

（1.4）辛矩阵的Iwasawa分解。

定理：

中的矩阵可以分解成（1.3）中1.2.4.型矩阵的乘积，具体来说任一

可分解为

，其中每个因子都是辛的。

我自己想了一个证明（估计可以在别的书上找到）：

记

为

上的标准辛内积，即

，则

是标准辛基。

引理。设

是

中的一个Lagrangian子空间，则存在

使得

是辛基。

证明：任取

的一组基

，它们都会满足

对任意

；而

。因此只需取

为

在标准欧氏内积下的一组标准正交基即可。证毕。

定理证明：由于

是辛矩阵，

也是一组辛基，特别地

是Lagrangian子空间，由引理，存在

使得

是辛基。因此

作为两组辛基间的过渡阵，

是辛的，即

。于是

，其中

是对称阵。而若记

，及

，则

，因此，

。

以

代替

，即得所求的分解。证毕。

（1.5）辛矩阵行列式为1。

时，由（1.4）的Iwasawa分解可知行列式为1。（不过

的行列式为1我并没想到什么直接的证明，一个间接的证法：作为拓扑群

，而

是连通的，故

也连通；另一面

说明det只能为

，因此恒等于1。）即

。特别地，

。

当

是特征0的域时，辛矩阵保持辛形式

不变，这里

，

。计算一下

，因此

是

上体积形式的非零倍数。辛矩阵保持它不变，所以行列式为1。

更一般地，（据说）可以归纳证明辛矩阵可以被（1.3）中的1.2.3型矩阵生成，所以

对一般的交换幺环都成立。

哦我又查了一下Artin的Geometric Algebra，当

是域时（无论特征如何），

可以由所有的辛平延（symplectic transvections）生成，从而行列式一定为1。

还要补充一点，根据（1.1）中的那个正合列以及辛矩阵det=1，我们得知：对于

， 有

。特别地，当

时，我们记

为

的那部分。

2.Siegel上半平面

（2.1）定义

Siegel上半平面是对复上半平面的高维类比。定义

。

具体来说

，其中

都是实对称阵，

是正定的。（约定：正定是指严格正定，与“半正定”相区别。）

小性质： 这样的

一定可逆。

证明：由于

正定，

，其中

是实可逆矩阵，则

。

是实对称阵，故

一定不是它的特征值。证毕。

下面希望类比一维的情形，定义

在

上的作用，形如：

，若

。

定义

。

（2.2）引理

先考虑

的情形。验证

一定可逆：

这里用到了（1.2）中的

。而

，假若不是正定，则存在非零实向量

使得

，从而

，说明

不满秩，这与

的可逆性矛盾。验证毕。

接着证明：任意

可写成

的形式，其中

。

设

，将

写成

，令

，则

是辛矩阵且

。证毕。

（2.3）引理：

一定可逆，且有

，其中

，

。

理清逻辑：只要

可逆，

就是良定义的，并且可以直接验证

成立。根据（2.2），我们知道了它对

成立。

现在对任意

，

，设

，则有

，所以

也可逆。进而那条性质对任意

都成立。引理证毕。

如果证明了

，则我们就可直接形式地验证

了。

（2.4）引理：

，且它的虚部

，其中

是

的虚部。

回忆：一维时，

的虚部为

，高维时分母的两个因子一前一后。

引理证明：我们有

以及

二者相减，利用（1.2）中的等式，右端为

，所以

。

类似地我们有

以及

二者相减，左边为

被

前后作用一下，右边为

，即得所求关系式。特别地，由于

，

仍是正定的。故

。

（2.5）结论及注记

以上证明了

的确良好地定义了

在

上的作用。还有几个小问题：

作用的核：假设

满足

对任意

。取

，代入后比较虚部：

，对于对称的

恒成立，因此

。再比较实部：

恒成立，因此

而

一定是纯量阵。因此

就是纯量阵。反之纯量阵的作用确实是trivial，因此核为

，作用factors through

。而

在

上作用的核为

，作用factors through

。哦当然了，

。

稳定化子：在（2.2）中我们看到

在

上的作用是可迁的，于是要问

的稳定化子。由

得

，于是

。因此

的稳定化子为（1.3）中的

。所以在这一等同下

。

下半平面：还可以考虑

在

上的作用，其中下半平面的定义将虚部正定改为虚部负定。

的

，它把上半平面映为下半平面。

其实还有对作用求微分的相关计算，不想写了，参考文献[1,2]。

（2.6）Cayley变换

[1]中Exercise1.9. 证明Cayley变换

是

到下述有界区域的解析同构

其中小于号按Hermitian矩阵的意义理解；且逆为

。

回忆：一维时这就是上半平面和单位圆盘之间的Cayley变换。

证明：对

注意

，由（2.1）中的小性质知，它一定可逆。

而对于

，任意非零的

，有

，特别地，

，即1不是

的特征值，故

可逆。（更进一步，这说明

的特征值的模长都小于1。）

从

出发，设

，由于Z对称，W也一定对称，此外我们有

因此

。

从

出发，设

，由于W对称，Z也一定对称，此外我们有

因此

的虚部正定。

这样Cayley变换和逆变换便都是定义良好的了。互逆性则是最容易的，只需注意到

等价于

。（注：还需注意到

二者交换。）

注意到Cayley变换和逆变换都是全纯的，因此给出了解析同构

。证毕。

参考文献：

[1] Anatoli Andrianov. Introduction to Siegel Modular Forms and Dirichlet Series. Universitext. (2009)

[2] Ameya Pitale. Siegel Modular Forms: A Classical and Representation-Theoretic Approach. Lecture Notes in Mathematics 2240. (2019)

[3] Emil Artin. Geometric Algebra. (1957)

[4] 讨论班讲义

后记：

这份笔记完全是按[1]的第一章第一节写的，我只是补了一些证明细节。[2]中只有结论，证明是“读者自行补齐”。

感觉真的是把线性代数复习了一遍，就是关于辛空间、辛矩阵，以及正定Hermite矩阵的等等结果。这些内容本科是真的没有学好啊！

[1]中还会确定Siegel上半平面在

作用下的基本域，哇，简直不敢想象……

可能稍有些跑偏，这部分对我的意义应该是为Shimura簇提供例子。