暑假，小哼准备去一些城市旅游。有些城市之间有公路，有些城市之间则没有，如下图。为了节省经费以及方便计划旅程，小哼希望在出发之前知道任意两个城市之前的最短路程。
现在需要一个数据结构来存储图的信息，我们仍然可以用一个4*4的矩阵（二维数组e）来存储。比如1号城市到2号城市的路程为2，则设e[1][2]的值为2。2号城市无法到达4号城市，则设置e[2][4]的值为∞。另外此处约定一个城市自己是到自己的也是0，例如e[1][1]为0，具体如下。
我们来想一想，根据我们以往的经验，如果要让任意两点（例如从顶点a点到顶点b）之间的路程变短，只能引入第三个点（顶点k），并通过这个顶点k中转即a->k->b，才可能缩短原来从顶点a点到顶点b的路程。那么这个中转的顶点k是1~n中的哪个点呢？甚至有时候不只通过一个点，而是经过两个点或者更多点中转会更短，即a->k1->k2b->或者a->k1->k2…->k->i…->b。比如上图中从4号城市到3号城市（4->3）的路程e[4][3]原本是12。如果只通过1号城市中转（4->1->3），路程将缩短为11（e[4][1]+e[1][3]=5+6=11）。其实1号城市到3号城市也可以通过2号城市中转，使得1号到3号城市的路程缩短为5（e[1][2]+e[2][3]=2+3=5）。所以如果同时经过1号和2号两个城市中转的话，从4号城市到3号城市的路程会进一步缩短为10。通过这个的例子，我们发现每个顶点都有可能使得另外两个顶点之间的路程变短。好，下面我们将这个问题一般化。
当任意两点之间不允许经过第三个点时，这些城市之间最短路程就是初始路程，如下。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 | for(i=1;i<=n;i++){ for(j=1;j<=n;j++) { if ( e[i][j] > e[i][1]+e[1][j] ) e[i][j] = e[i][1]+e[1][j]; }} |
在只允许经过1号顶点的情况下，任意两点之间的最短路程更新为：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 | //经过1号顶点for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if (e[i][j] > e[i][1]+e[1][j]) e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];//经过2号顶点for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if (e[i][j] > e[i][2]+e[2][j]) e[i][j]=e[i][2]+e[2][j]; |
在只允许经过1和2号顶点的情况下，任意两点之间的最短路程更新为：
通过上图得知，在相比只允许通过1号顶点进行中转的情况下，这里允许通过1和2号顶点进行中转，使得e[1][3]和e[4][3]的路程变得更短了。
同理，继续在只允许经过1、2和3号顶点进行中转的情况下，求任意两点之间的最短路程。任意两点之间的最短路程更新为：
最后允许通过所有顶点作为中转，任意两点之间最终的最短路程为：
| 1 2 3 4 5 | for(k=1;k<=n;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j]) e[i][j]=e[i][k]+e[k][j]; |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 | #include <stdio.h>int main(){ int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3; int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值 //读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数 scanf("%d %d",&n,&m); //初始化 for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if(i==j) e[i][j]=0; else e[i][j]=inf; //读入边 for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3); e[t1][t2]=t3; } //Floyd-Warshall算法核心语句 for(k=1;k<=n;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] ) e[i][j]=e[i][k]+e[k][j]; //输出最终的结果 for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) { printf("%10d",e[i][j]); } printf("\n"); } return 0;} |
| 1 2 3 4 5 6 | //Floyd-Warshall算法核心语句for(k=1;k<=n;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if(e[i][k]<inf && e[k][j]<inf && e[i][j]>e[i][k]+e[k][j]) e[i][j]=e[i][k]+e[k][j]; |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | 4 81 2 21 3 61 4 42 3 33 1 73 4 14 1 54 3 12 |
第一行两个数为n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数。
接下来m行，每一行有三个数t1、t2 和t3，表示顶点t1到顶点t2的路程是t3。
得到最终结果如下：
通过这种方法我们可以求出任意两个点之间最短路径。它的时间复杂度是O(N3)。令人很震撼的是它竟然只有五行代码，实现起来非常容易。正是因为它实现起来非常容易，如果时间复杂度要求不高，使用Floyd-Warshall来求指定两点之间的最短路或者指定一个点到其余各个顶点的最短路径也是可行的。当然也有更快的算法，请看下一节：Dijkstra算法。
另外需要注意的是：Floyd-Warshall算法不能解决带有“负权回路”（或者叫“负权环”）的图，因为带有“负权回路”的图没有最短路。例如下面这个图就不存在1号顶点到3号顶点的最短路径。因为1->2->3->1->2->3->…->1->2->3这样路径中，每绕一次1->-2>3这样的环，最短路就会减少1，永远找不到最短路。其实如果一个图中带有“负权回路”那么这个图则没有最短路。
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