应用场景

推荐系统：分析购买某类商品的潜在因素，判断该类商品的购买概率。挑选购买过的人群A和未购买的人群B，获取两组人群不同的用户画像和行为特征数据。建立用户行为模型、商品推荐模型实现产品的自动推荐。

公式

对于二分类问题，给定训练集{(x1, y1), …, xn,yn)}，其中xi表示第i个用户的p维特征，yi∈{0,1}表示第i个用户是否购买过该商品。

模型满足二项式分布：
$$P(y_i|x_i)=u(x_i{)}^y(1-u(x_i){)}^{(1-y_i)}$$
$$u(x_i)=\frac{1}{1+(e^{-x_i^T\theta })}$$
其中，θ为模型参数，包含该商品的偏置项。
通过最大似然估计来求解：
$$L=P(y_1,...,y_n|x_1,...,x_n;\theta )=\prod _{i=1}^{n}P(y_i|x_i;\theta )=\prod _{i=1}^{n}u(x_i{)}^{y_i}(1-u(x_i{)}^{1-y_i})$$
进一步可以得到负对数似然函数：
$$L(\theta )=-logP(y_1,...,y_n|x_1,...,x_n;\theta ,b)=-\sum _i^n((y_{i}logu(x_i))+(1-y_i)log(1-u(x_i)))$$
采用随机梯度下降法来求解数值：
$$\theta =argmi{n}_{\theta }\sum _i^n(y_{i}logu(x_i)+(1-y_i)log(1-u(x_i)))$$
对参数θ求导得到：
$$\frac{\partial L}{\partial \theta }=\sum _i^n(g(x_i^T\theta )-y_i)x_i$$
$$g(x)=\frac{1}{1-e^{-x}}$$
进一步可以得到：
$${\theta }^{t+1}={\theta }^t-\rho (g(x_i^T\theta )-y_i)x_i$$
其中，0<ρ<1是步长参数。

代码实现

损失函数的定义，正则化防止过拟合
$$loss=-\frac{1}{m}[\sum _{i=1}^m(y_{i}log(u_{\theta }(x_i))+(1-y_i)log(1-u_{\theta }(x_i)))]+\lambda \frac{1}{2m}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$$

import random
import numpy as np
class LogisticRegression(object) :def __init__(self, x, y, lr=0.0005, lam=0.1):'''x: features of examplesy: label of exampleslr: learning ratelambda: penality on theta'''self.x = xself.y = yself.lr = lrself.lam = lamn = self.x.shapeself.theta = np.array ([0.0] * (n + 1))def _sigmoid (self , x) :z = 1.0/(1.0 + np.exp((-1) * x))return zdef loss_function (self):u = self._sigmoid(np.dot(self.x, self.theta)) # u(xi)c1 = (-1) * self.y * np.log (u)c2 = (1.0 - self.y) * np.log(1.0 - u)# 计算交叉熵 L(θ)求均值loss = np.average(sum(c1 - c2) + 0.5 * self.lam * sum(self.theta[1:] ** 2))return lossdef _gradient(self, iterations) :# m是样本数, p是特征数m, p = self.x.shapefor i in range(0, iterations):u = self._sigmoid(np.dot(self.x, self.theta))diff = self.theta - self.yfor _ in range(0, p):self.theta[_]= self.theta[_] - self.lr * (1.0 / m) * (sum(diff * self.x [:, _]) + self.lam * m * self.theta[_])cost= self.loss_function()def run(self, iteration):self. _gradient(iteration)def predict(self, x):preds = self._sigmoid(np.dot(x, self.theta))np.putmask (preds, preds >= 0.5, 1.0)np.putmask (preds, preds < 0.5, 0.0)return preds

参考文献

《推荐系统与深度学习》黄昕等