1. 题目

给定一个方形整数数组 A，我们想要得到通过 A 的下降路径的最小和。

下降路径可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列。

示例：
输入：[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：12解释：
可能的下降路径有：
[1,4,7], [1,4,8], [1,5,7], [1,5,8], [1,5,9]
[2,4,7], [2,4,8], [2,5,7], [2,5,8], [2,5,9], [2,6,8], [2,6,9]
[3,5,7], [3,5,8], [3,5,9], [3,6,8], [3,6,9]
和最小的下降路径是 [1,4,7]，所以答案是 12。提示：
1 <= A.length == A[0].length <= 100
-100 <= A[i][j] <= 100

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-falling-path-sum
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2. 动态规划解题

这题很简单，DP解题

• 状态表初始化数值INT_MAX，状态表第一行就是数组本身
• 从第二行开始，每个格子可以接受他头顶的3个（左中右）状态的最小的过来
• 状态方程如下：
  $$dp[i][j]=A[i][j]+min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j+1])$$
• 为了方便处理边界，状态表左右各加1列

class Solution {
public:int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& A) {const int N = A.size();vector<vector<int>> dp(N,vector<int>(N+2,INT_MAX));int i, j, minSum = INT_MAX;for(i = 0; i < N; i++) dp[0][i+1] = A[0][i];//初始化第一行for(i = 1; i < N; ++i){for(j = 1; j < N+1; ++j){	//注意加了两列后下标的错位dp[i][j] = A[i][j-1]+min(min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]),dp[i-1][j+1]);}}for(i = 1; i < N+1; ++i)minSum = min(minSum,dp[N-1][i]);//最后一行最小return minSum;}
};

• 状态可以压缩：观察到下一行状态只跟上一行状态有关，所以只需要2行数组空间即可

class Solution {
public:int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& A) {const int N = A.size();vector<int> dp(N+2,INT_MAX);vector<int> temp(N+2,INT_MAX);int i, j, minSum = INT_MAX;for(i = 0; i < N; i++) temp[i+1] = A[0][i];//初始化第一行for(i = 1; i < N; ++i){for(j = 1; j < N+1; ++j){   //注意加了两列后下标的错位dp[j] = A[i][j-1]+min(min(temp[j-1],temp[j]),temp[j+1]);}swap(dp,temp);}return *min_element(temp.begin(),temp.end());}
};