1 引言

傅里叶级数 (Fourier Series, FS) 是《高等数学》中遇到的一个重要的级数，它可以将任意一个满足狄利克雷条件的函数为一系列三角级数的和。最早由法国数学家傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出，极大地推动了偏微分方程理论的发展。根据欧拉公式及其推导式，傅里叶级数又可以推导出《信号与系统》中最重要的傅里叶变换(Fourier Transform, FT)。FT由于可以将信号从时域到频域来回变换，分析信号的成分，从而广泛应用于信号处理领域。在计算机处理中，信号被离散化为采样点，针对离散采样点的傅里叶变换成为了《数字信号处理》中的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)。但是由于DFT计算量过于庞大（计算复杂度高），1965年由J.W.库利和T.W.图基提出了最早版本的快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform, FFT)，将计算量减少了几个量级，从而使得计算机更加快速地处理信号，从而促进通信、信号处理领域的快速发展。近年来由于量子计算机的兴起，量子傅里叶变换（Quantum Fourier Transform, QFT）更是可以对FFT进行指数级别的加速。

由于这一系列变换出现在不同学科中，老师在讲课时也是各自独立讲解，所以大多数同学（包括我）对其中的似曾相识的公式，一直分不清有什么区别和联系，这篇文章着重于这一系列傅里叶算法的直接的相互推导。

2 一维傅里叶级数(FS)

2.1 周期性

首先写出傅里叶级数的表达式：

其中，

,

是FS的系数，也是我们需要求的参数，若它们确定，则

即可被分解为N阶的FS。

由于

，

，因此上式可以改写为：

当

时，

，

是周期为

的周期函数，也是FS中周期最大的一组分量。我们取周期

，其他分量，在

中应该包含了多个完整的周期。此时有：

2.2 正交性

何为正交？正交是线性代数中的概念，即列向量a, b的内积为0，就称这两向量正交。正交还可以不严谨地理解为这两组向量之间没有关系。

同样地，借鉴这个定义，在连续函数中的正交为：

此时，我们令

,有：

积分是一个线性算符，积分和等于和的积分，上式可以看做两个三角函数分别积分。当

时，无论

还是

均大于等于1，因此它们的周期必然小于等于

。根据前面的结论有：

当

时，上式变为：

前一项，积分明显为0，后一项为

。

同理，还可以尝试令

，在此不再赘述，可以得到

2.3 求系数

,

首先看

怎么求。令：

就是把要分解的函数和傅里叶级数同时做了积分，等号右边可以拆为2N+1个积分和，根据前面的周期性可知，除了第一项以外，后面的项的积分均为0。故上式可以化简为：

这里的表达式就说明了

其实是函数的均值。

接着，我们尝试求

，令：

其中，

也是1~N中的一个值，为了便于和

区分开来，方便叙述。

利用上面证明的周期性和正交性，我们可以知道，只有当

时，积分结果才不为0，其余均为0。故上式可以化简为：

故：

同理，我们可以得到正弦分量的系数。最后结果为：

到这里，所有FS的系数就能求出来了。但是这里有个比较诡异的地方，当

时，上式算出的

与我们之前算出的

不等，为了保持k的延续性，通常情况是用

表示FS的第一项。

3 傅里叶变换(FT)

3.1 FT和FS之间的关系

首先，把傅里叶变换的公式写出来：

然后，回到傅里叶级数。

根据欧拉公式

及其一个简单的变形：

代入到傅里叶级数中：

令

傅里叶级数变为：

变换后的系数

求解方式可以根据上面

求得。

若

的定义域是

，且

是非周期函数，我们可以对

进行周期延拓，认为它在定义域内为一个周期；而

和

前所述，在

中最少有1个周期，上式不妨写为：

所以，

当

时，

与

间隔很小，可视作连续。

由于

在

内为一个周期，也可以表示为在

内也是一个周期（周期延拓）。故上式写为

令

,

由

替换，

由

替换就出现了傅里叶变换的公式

3.2离散傅里叶变换

在计算机中，我们不可能令

,这样

与

仍被当做离散量，这样一来积分号就变成了求和号，上式可以写作：

因此我们就得到了能够被计算机执行的离散傅里叶变换的函数式。

为便于理解，先带个具体数据进去考虑。若采样的数据点为8，频率分量个数也为8。用

来表示这种情况下的DFT函数。

上面这些式子用矩阵表示为，假设有个矩阵

右乘一个时域组成的列向量得到一个频域组成的列向量。

将上面的一组求和式翻译成矩阵

为了便于观察，令

矩阵中的

。上式可以写为：

根据

的周期性：

可进一步化简。

3.3 快速傅里叶变换

从3.2节，我们知道了，要完成一次DFS需要用一个矩阵去乘以一个时域组成的列向量，而这个矩阵大小与时域上的采样点和频域分量的个数有关。若它们的个数为

，则上面的一个矩阵乘法包含

次数值乘法，这当

较大时，需要消耗大量的计算机资源。好在构成DFS的矩阵有着一定的特殊规律，可以使用分治法，使其只需要大约

次数值乘法，即可完成工作。

仍然以

为例，不难看出

是一个正交对称阵（实际上所有DFS构成的矩阵都是正交对称阵）。交换

偶数列位置提到奇数列前面。

而

与

只差一个奇偶置换矩阵

同样地，我们还可以写出

同样地，令

矩阵中的

值得注意的是

（周期性）

故

又可以写为：

左边4列中包含了两个

而右边4列是由系数和

共同组成。因此

又可以被写为：

其中

为单位阵，

是一个对角阵。

最后

这样一来上面这个矩阵需要多少次乘法呢？由于

是奇偶置换矩阵，在计算机中是只需要移位，不需要做乘法运算，故

显然，主要的计算量在于

和

,共计

次数值乘法，

是对角阵，

需要额外4次乘法，

是它的相反数，不计入乘法次数。最后我们就将原本需要

次乘法变为了

次乘法。

同理，我们还可以对

进一步拆分为

带入

中

化简下：

此时需要的乘法数量为

推广到更一般的情况，仍然可以使用类似上述的递归方式，最后FFT的计算复杂度变为

4、量子傅里叶变换

如果对量子逻辑门有一定了解的同学，看到上面最终的递归化简式，已经发现和量子逻辑门很像了。比如我们看

那这不就是

门嘛。

再比如

也可以分解成量子门的形式（中间省略了归一化参数）：

其中

为哈德玛门，

为

的单位阵，

为受控S门。

也可以分解成量子门的形式（中间省略了归一化参数）：

其中，

相当于

的单位阵。

相当于

门。

接着 我们观察置换矩阵

，列出这两个的真值表

不难发现

就相当于SWAP门

根据

的递归表达式可以看出，矩阵左乘向量顺序为先

再

，它们的真值表变换如下

列出合并后的真值表，那这不就是1,3 qubit交换位置嘛。

即：

整个

的递归式就可以写成（中间省略了归一化参数）：

量子电路如下：

有兴趣的可以对比一下与《量子计算与量子信息》书中盒子5.1是否是等价的电路。如果以基本量子门作为计算单元的话，QFT的复杂度则只需