正题

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题目大意

$n$个人的圆桌，可以放男可以放女，然后要求不能有连续$k$个女生坐在一起。求方案总数。

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解题思路

先不考虑圆桌，设$f_{i,j}$表示放了i个人，最前面有连续$j$个女生，动态转移方程显然
$$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}(j!=0)$$
$$f_{i,0}=\sum _{j=0}^n{f}_{i-1,j}$$

设$r$表示长度为$l$不考虑循环重构的方案数那么有
$$r_i=\sum _{j=1}^k{f}_{i,j}\ast (j+1)$$
($j+1$)表示圆桌旋转的方法

然后我们定义$q_i$表示长度为$i$且不由循环节构成的方案总数那么有
$$q_i=r_i-\sum _{d|i}{q}_d$$
然后定义$s_i$表示长度为$i$且包括循环重构的方案那么有
$$s_i=\sum _{d|i}\frac{q_d}{d}$$
(循环重复了$d$次)

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$code$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const ll XJQ=1e8+7,N=2010;
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans;
}
ll t,p[N][N],r[N],q[N],ans,n,k;
int main()
{scanf("%lld",&t);while(t--){scanf("%lld%lld",&n,&k);memset(p,0,sizeof(p));p[1][0]=1;for(ll i=1;i<=2000;i++)for(ll j=0;j<=min(i-1,k);j++){p[i+1][0]=(p[i+1][0]+p[i][j])%XJQ;p[i+1][j+1]+=p[i][j];}memset(r,0,sizeof(r));for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=0;j<=k;j++)(r[i]+=p[i][j]*(j+1)%XJQ)%=XJQ;ans=0;for(ll i=1;i<=n;i++){q[i]=r[i];for(ll j=1;j<i;j++)if(i%j==0)q[i]=(q[i]-q[j]+XJQ)%XJQ; }for(ll i=1;i<=n;i++)if(!(n%i)) (ans+=q[i]*power(i,XJQ-2)%XJQ)%=XJQ;if(n<=k) ans++;printf("%lld\n",ans);}
}