正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3193

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题目大意

求有多少个长度为$n$的字符串不包含子串$s$。

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解题思路

考虑$dp$，用$f_{i,j}$表示第$i$个已经匹配到$j$时的方案数。

显然这与正常匹配十分相似，我们分为两种情况

1. $an{s}_{i+1}==s_{j+1}$那么转移到$f_{i+1,j+1}$
2. $an{s}_{i+1}!=s_{j+1}$，此时我们不能直接转移到$f_{i+1,0}$，因为有可能$s$的某段前缀和$ans$的这段后缀相等，考虑$KMP$。我们用$KMP$处理出$next$数组，然后往前跳到一个匹配的位置$k$那么就可以转移到$f_{i+1,k+1}$。

此时我们就有了一个$O(n{m}^2)$的做法，时间复杂度承担不下，我们可以发现每一次$f$的转移方程都是相同的，所以我们用矩阵乘法优化就好了。

时间复杂度$O(m^3\log n)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Size=25;
struct Matrix{int a[Size][Size];
}f;
int n,m,XJQ,ans,next[Size];
char s[Size];
Matrix operator*(Matrix &a,Matrix &b){Matrix c;memset(c.a,0,sizeof(c.a));for(int i=0;i<m;i++)for(int j=0;j<m;j++)for(int k=0;k<m;k++)(c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%XJQ)%=XJQ;return c;
}
void KMP()
{next[0]=-1;next[1]=0;for(int i=2,j=0;i<=m;i++){while(j&&s[i]!=s[j+1]) j=next[j];j+=(s[i]==s[j+1]);next[i]=j;}return;
}
Matrix power(Matrix x,int b)
{Matrix ans=x;b--;while(b){if(b&1) ans=ans*x;x=x*x;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%d%d%d",&n,&m,&XJQ);scanf("%s",s+1);KMP();for(int i=0;i<=m;i++)for(int j=0;j<10;j++){int u=i;while(u&&(j+'0')!=s[u+1]) u=next[u];u+=(s[u+1]==(j+'0'));if(u==m) continue;f.a[i][u]++;}f=power(f,n);for(int i=0;i<m;i++)ans=(ans+f.a[0][i])%XJQ;printf("%d",ans);
}