正题

题目链接:https://jzoj.net/senior/#contest/show/3017/2

---

题目大意

求有多少个长度为$n$的序列使得

1. 都是在集合$S$中的数
2. 这些数的乘积$\%m=x$

---

解题思路

设$f_{i,j}$表示长度为$i$的序列，乘积为$j$的有多少个，显然有
$$f_{i,j\ast w\%m}=f_{i-1,j}(w\in S)$$
然后有
$$f_{2\ast i,j}=\sum _{a\ast b\%m=j}{f}_{i,a}\ast f_{i,b}$$

此时我们可以用矩阵乘法做到$O(m^3\log n)$

但是此复杂度显然无法胜任本题

因为$m$是质数，所以对于$1\sim m-1$都可以用一个$g^i\%m$表示出来，我们枚举找出一个$g$后，就有
$f_{i,j}$表示长度为$i$的序列，乘积为$g_j\%m$的有多少个
那么就有$$f_{2\ast i,j}=\sum _{(a+b)\%m=j}{f}_{i,a}\ast f_{i,b}$$

这很显然是一个卷积的形式，所以我们表示出一个多项式后用$NTT$做快速幂即可。

时间复杂度$:O(m\log m\log n)$

---

$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e4+10,XJQ=1004535809;
ll n,m,z,s,d[N],cnt,len,invn;
ll f[N],ans[N],tmp1[N],tmp2[N],r[N];
bool v[N];
ll power(ll x,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans;
}
ll FindRoot(){ll l=m-1;for(ll i=2;i*i<=l;i++){if(l%i==0){d[++cnt]=i;while(l%i==0)l/=i;}}if(l!=1) d[++cnt]=l;l=m-1;for(ll i=2;i<=l;i++){bool flag=1;for(ll j=1;j<=cnt;j++)if(power(i,l/d[j],m)==1){flag=0;break;}if(flag) return i;}return 0;
}
void NTT(ll *x,ll op){for(ll i=0;i<len;i++)if(i<r[i])swap(x[i],x[r[i]]);for(ll p=2;p<=len;p<<=1){ll l=p>>1,tmp=power(3,(XJQ-1)/p,XJQ);if(op==-1)tmp=power(tmp,XJQ-2,XJQ);for(ll k=0;k<len;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+l;i++){ll tt=buf*x[l+i]%XJQ;x[l+i]=(x[i]-tt+XJQ)%XJQ;x[i]=(x[i]+tt)%XJQ;buf=buf*tmp%XJQ;}}}if(op==-1)for(int i=0;i<len;i++)x[i]=x[i]*invn%XJQ;
}
void mul(ll *a,ll *b){for(ll i=0;i<len;i++)tmp1[i]=a[i],tmp2[i]=b[i];NTT(tmp1,1);NTT(tmp2,1);for(ll i=0;i<len;i++)tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%XJQ;NTT(tmp1,-1);for(ll i=0;i<m-1;i++)a[i]=(tmp1[i]+tmp1[i+m-1])%XJQ;
}
int main()
{ll z0;scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&z0,&s);ll root=FindRoot();for(ll i=1;i<=s;i++){ll x;scanf("%lld",&x);v[x]=1;}for(ll i=0,x=1;i<m-1;i++,x=x*root%m){if(v[x])f[i]=1;if(x==z0)z=i;}for(len=1;len<=(m-1)<<1;len<<=1);for(ll i=0;i<len;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?len>>1:0);ans[0]=1;invn=power(len,XJQ-2,XJQ);while(n){if(n&1)mul(ans,f);mul(f,f);n>>=1;}printf("%lld",ans[z]);
}