网络流24题

网络流24题

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说在前边

1. 一直没有完整的刷过这套题，打算最近一点点刷掉
2. 通过《最小割模型在信息学竞赛中的应用》及《浅析一类最小割问题》学习常规建图技巧

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飞行员配对方案问题

二分图最大匹配

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 100005;
const int N = 202;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<1];
int h[N],cc;
void add(int u,int v,int w) {E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[N],q[M],st,ed;
int bfs() {int l=0,r=0;for(int i=1;i<=n+2;++i) d[i]=0;q[r]=st;++r;d[st]=1;while(l<r) {int u=q[l];++l;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(!d[v]&&E[i].w) {d[v]=d[u]+1;q[r]=v;++r;if(v==ed)return 1;}}}return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {if(u==ed)return fl;int s=fl,t;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {t=dfs(v,min(E[i].w,s));s-=t;E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;if(s==0)return fl;}}if(s==fl) d[u]=0;return fl-s;
}
int dinic() {int ans=0;while(bfs())ans+=dfs(st,inf);return ans;
}
int main() {scanf("%d%d",&m,&n);for(int i=1;i<=n+2;++i) h[i]=-1;st=n+1;ed=n+2;int u,v;while(scanf("%d%d",&u,&v)!=EOF) {if(u==-1&&v==-1)break;add(u,v,1);}for(int i=1;i<=m;++i) add(st,i,1);for(int i=m+1;i<=n;++i) add(i,ed,1);printf("%d\n",dinic());int f=0;for(int i=1;i<=m;++i) {for(int j=h[i];~j;j=E[j].nxt) {if(E[j].w==0&&E[j].e<=n)printf("%d %d\n",i,E[j].e),f=1;}}if(!f) puts("No Solution!");return 0;
}

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太空飞行计划问题

最大权闭合子图，正点权连源，负点权连汇，点权的绝对值作为边权。原本图中的边容量为无穷。割集将图的源汇分开，与源点相通的点就是最大权闭合子图的点集。

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 100005;
const int N = 500;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<1];
int h[N],cc;
void add(int u,int v,int w) {E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[N],q[M],st,ed;
int bfs() {int l=0,r=0;for(int i=1;i<=n+m+2;++i) d[i]=0;q[r]=st;++r;d[st]=1;while(l<r) {int u=q[l];++l;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(!d[v]&&E[i].w) {d[v]=d[u]+1;q[r]=v;++r;if(v==ed)return 1;}}}return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {if(u==ed)return fl;int s=fl,t;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {t=dfs(v,min(E[i].w,s));s-=t;E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;if(s==0)return fl;}}if(s==fl) d[u]=0;return fl-s;
}
int dinic() {int ans=0;while(bfs())ans+=dfs(st,inf);return ans;
}
vector<int> v,v1,v2;
int vis[N];
void dfs2(int u) {vis[u]=1;if(u>=1&&u<=m)v1.push_back(u);if(u>m&&u<=n+m) v2.push_back(u-m);for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(!vis[v]&&E[i].w>0)dfs2(v);}
}
int a[N],b[N];
int main() {scanf(" %d %d ",&m,&n);memset(h,-1,sizeof(h));st=m+n+1;ed=st+1;int ans = 0;for(int i=1;i<=m;++i) {string s;v.clear();getline(cin,s);int c=0;while(1){int tmp = 0;while(s[c]>='0'&&s[c]<='9'&&c<s.size()) tmp=tmp*10+s[c]-'0',++c;v.push_back(tmp);if(c==s.size()) break;while(s[c]<'0'||s[c]>'9'&&c<s.size()) ++c;}add(st,i,v[0]);ans+=v[0];a[i]=v[0];for(int j=1;j<v.size();++j) {add(i,v[j]+m,inf);}}for(int i=1;i<=n;++i) {int x;scanf("%d",&x);b[i]=x;add(i+m,ed,x);}ans-=dinic();dfs2(st);int t=0;for(auto x: v1)printf("%d ",x),t+=a[x];puts("");for(auto x: v2)printf("%d ",x),t-=b[x];puts("");printf("%d\n",ans);return 0;
}

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最小路径覆盖问题

DAG最小路径覆盖，拆点二分图最大匹配。分析见这里

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 1000005;
const int N = 1500;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<1];
int h[N],cc;
void add(int u,int v,int w) {E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[N],q[M],st,ed;
int bfs() {int l=0,r=0;for(int i=1;i<=n+n+2;++i) d[i]=0;q[r]=st;++r;d[st]=1;while(l<r) {int u=q[l];++l;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(!d[v]&&E[i].w) {d[v]=d[u]+1;q[r]=v;++r;if(v==ed)return 1;}}}return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {if(u==ed)return fl;int s=fl,t;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {t=dfs(v,min(E[i].w,s));s-=t;E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;if(s==0)return fl;}}if(s==fl) d[u]=0;return fl-s;
}
int dinic() {int ans=0;while(bfs())ans+=dfs(st,inf);return ans;
}
int vis[N],in[N];
vector<int> G[N];
void dfs2(int u) {vis[u]=1;printf("%d ",u);for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(v>n&&v<=2*n&&!vis[v-n])--in[v-n];}for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt)if(!E[i].w){int v=E[i].e;if(v>n&&v<=2*n&&!vis[v-n])dfs2(v-n);}
}int main() {scanf(" %d %d ",&n,&m);memset(h,-1,sizeof(h));st = 2*n+1; ed = st+1;for(int i=1;i<=n;++i) add(st,i,1);for(int i=1;i<=n;++i) add(i+n,ed,1);for(int i=1;i<=m;++i) {int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);add(x,y+n,1);++in[y];}int ans = n - dinic();for(int i=1;i<=n;++i)if(!in[i]&&!vis[i]) {dfs2(i);puts("");}printf("%d\n",ans);return 0;
}

魔术球问题

每根柱子看作是一条链，那么就是用最少的链把所有点都覆盖掉，及最小路径覆盖。在dinic跑的同时，加入新的点，直到超过n条链结束。其余同上题。

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 1000005;
const int lim = 5000;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<2];
int h[lim<<2],cc;
void add(int u,int v,int w) {E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[lim<<2],q[M],st,ed;
int bfs() {int l=0,r=0;memset(d,0,sizeof(d));q[r]=st;++r;d[st]=1;while(l<r) {int u=q[l];++l;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(!d[v]&&E[i].w) {d[v]=d[u]+1;q[r]=v;++r;if(v==ed)return 1;}}}return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {if(u==ed)return fl;int s=fl,t;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {t=dfs(v,min(E[i].w,s));s-=t;E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;if(s==0)return fl;}}if(s==fl) d[u]=0;return fl-s;
}int vis[lim<<2],in[lim<<2];void dfs2(int u,int cnt) {vis[u]=1;printf("%d ",u);for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(v<cnt+lim&&v>lim&&!vis[v-n])--in[v-n];}for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt)if(!E[i].w){int v=E[i].e;if(v<cnt+lim&&v>lim&&!vis[v-lim])dfs2(v-lim,cnt);}
}
int is2[M];
int main() {scanf("%d",&n);for(int i=1;i*i<=100000;++i)is2[i*i]=1;memset(h,-1,sizeof(h));int cnt=0;st = lim*2+2; ed  = lim*2+3;int ans=0;for(int i=1;i<=lim;++i) add(st,i,1);for(int i=1;i<=lim;++i) add(i+lim,ed,1);while(1){++cnt;for(int i=1;i<cnt;++i)if(is2[i+cnt]){add(i,cnt+lim,1);++in[cnt];}while(bfs())ans+=dfs(st,inf);int tmp = cnt - ans;if(tmp==n+1)break;}printf("%d\n",cnt-1);for(int i=1;i<cnt;++i)if(!vis[i]) {dfs2(i,cnt);puts("");}return 0;
}

圆桌问题

二分图多重匹配，（总点数在变化。。。贴板子WA了几发

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 1000005;
const int N = 500;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<1];
int h[N],cc;
void add(int u,int v,int w) {E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[N],q[M],st,ed;
int bfs() {int l=0,r=0;for(int i=1;i<=n+m+2;++i) d[i]=0;q[r]=st;++r;d[st]=1;while(l<r) {int u=q[l];++l;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(!d[v]&&E[i].w) {d[v]=d[u]+1;q[r]=v;++r;if(v==ed)return 1;}}}return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {if(u==ed)return fl;int s=fl,t;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {t=dfs(v,min(E[i].w,s));s-=t;E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;if(s==0)return fl;}}if(s==fl) d[u]=0;return fl-s;
}
int dinic() {int ans=0;while(bfs())ans+=dfs(st,inf);return ans;
}int a[N],b[N];
int main() {scanf("%d%d",&m,&n);memset(h,-1,sizeof(h));st = m + n +1; ed = st+1;int tmp = 0;for(int i=1;i<=m;++i) {scanf("%d",&a[i]);add(st,i,a[i]);tmp+=a[i];}for(int i=1;i<=n;++i) {scanf("%d",&b[i]);add(i+m,ed,b[i]);}for(int i=1;i<=m;++i)for(int j=1;j<=n;++j) add(i,j+m,1);int ans = dinic();if(ans==tmp) {puts("1");for(int i=1;i<=m;++i) {for(int j=h[i];~j;j=E[j].nxt)if(E[j].e>m&&E[j].e<=n+m&&!E[j].w) printf("%d ",E[j].e-m);puts("");}}else puts("0");return 0;
}

最长递增子序列问题

第一问直接dp即可，第二问，先发现它是在第一问最长上升子序列的基础上做的。一眼的思路就是，我在dp的时候把以每个位置为最大值的，所有的最长上升子序列，最后取出其中的所有最长上升子序列，然后每个序列按顺序从左到右连边，每个点限流为1，然后直接最大流。这样做第二问应该是ok的。但是一开始用vector< vector > 存了所有的序列，可能爆内存吧。第三问用同样的方法，然后把1和n的限流改成了inf，如果他们和源汇相连也改成inf，还没搞清楚为什么会WA。其实不用求出所有序列，只要确定开头和末尾，中间把他们有转移关系的位置连边，限流，再最大流。第三问跟上面操作一样吧。

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define pb push_back
const int N = 844;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
int n, ans1, ans2, ans3;
struct edge{int e,w,nxt;}E[N*N*2];
int cc, h[N];
void add(int u, int v, int w) {E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int st, ed, d[N], q[N*N*2], in[N], out[N];
int bfs() {int l=0,r=0;for(int i=1;i<=2*n+3;++i)d[i]=0;q[r]=st;++r;d[st]=1;while(l < r) {int u = q[l]; ++l;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(!d[v]&&E[i].w) {d[v]=d[u]+1;q[r]=v;++r;if(v==ed)return 1;}}}return 0;
}
int dfs(int u, int fl) {if(u==ed) return fl;int s=fl,t;for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {int v=E[i].e;if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {t=dfs(v,min(E[i].w,s));s-=t;E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;if(s==0)return fl;}}if(s==fl)d[u]=0;return fl-s;
}
int dinic() {int ans = 0;while(bfs()) ans+=dfs(st,inf);return ans;
}
int a[N], dp[N];
int main() {scanf("%d",&n);rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);// 1rep(i,1,n)dp[i]=1;rep(i,2,n)rep(j,1,i-1) if(a[j]<a[i])dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);rep(i,1,n) ans1=max(ans1,dp[i]);printf("%d\n",ans1);// 2st=n*2+1; ed=st+1;rep(i,1,ed) h[i]=-1;rep(i,1,n) add(i,i+n,1);rep(i,1,n) if(dp[i] == 1) add(st,i,1);rep(i,1,n) if(dp[i] == ans1) add(i+n,ed,1);rep(i,1,n) rep(j,1,i)if(a[i]>a[j]&&dp[i]==dp[j]+1) add(j+n,i,1);int ans2 = dinic();printf("%d\n",ans2);//3add(1,1+n,inf);add(st,1,inf);add(n,n+n,inf);if(dp[n]==ans1) add(n+n,ed,inf);int ans3 = ans2 + dinic();printf("%d\n",ans3);return 0;
}