幼儿园数学题II

ssl 2514

题目大意

给出式子
$f(1)=1,f(2)=1$
$f(n)-f(3)-f(4)-f(5)-...-f(n-3)-f(n-2)=(n+4)(n-1)/2$
让你求前n项的和（对$10^9+7$取模）

输入样例#1

1

输出样例#1

1

输入样例#2

2

输出样例#2

2

数据范围

$0⩽n⩽2^{31}-1$

解题思路

$f(n)=(n+4)(n-1)/2+f(3)+f(4)+f(5)+\dots +f(n-3)+f(n-2)$
n很大，不能直接递推
考虑矩阵乘法
对于后面的一堆$f$我们可以用前缀和
我们设矩阵
$\left[\begin{array}{ccccc}{s}_{i-2}& f_{i-1}& \frac{(n+4)\cdot (n-1)}{2}& n& 1\end{array}\right]$
$s_{i-1}=s_{i-2}+f_{i-1}$
$f_i=\frac{(n+4)\cdot (n-1)}{2}+s_{i-2}$
把 $\frac{(n+4)\cdot (n-1)}{2}$展开得到$\frac{n^2+3\cdot n-4}{2}$
$\frac{((n+1)+4)\cdot ((n+1)-1)}{2}=\frac{(n+5)\cdot n}{2}=\frac{n^2+5\cdot n}{2}=\frac{n^2+3\cdot n-4+2\cdot n+4}{2}=\frac{(n+4)\cdot (n-1)}{2}+n+4$
然后可以得到矩阵
$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 2& 1& 1\end{array}\right]$
然后快速幂即可
但出题人的方法在计算$f_3$时会减去1？？
但问题不大，预处理一下即可

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define wyc 1000000007 
using namespace std;
ll n;
struct matrix
{ll n, m, a[10][10];matrix operator *(const matrix &b) const{matrix c;c.n = n;c.m = b.m;for (int i = 1; i <= c.n; ++i)for (int j = 1; j <= c.m; ++j)c.a[i][j] = 0;for (int i = 1; i <= c.n; ++i)for (int k = 1; k <= m; ++k)for (int j = 1; j <= c.m; ++j)c.a[i][j] = (c.a[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j] % wyc) % wyc;return c;}
}A, B;
void Counting(ll x)
{while(x){if (x&1) A = A * B;B = B * B;x>>=1;}
}
int main()
{scanf("%lld", &n);if (n <= 3){if (n == 1) putchar('1');else if (n == 2) putchar('2');else if (n == 3) putchar('8');return 0;}A.n = 1;A.m = B.n = B.m = 5;A.a[1][1] = 0, A.a[1][2] = 6, A.a[1][3] = 12, A.a[1][4] = 4, A.a[1][5] = 1;//初始状态，前两个不算进去B.a[1][1] = 1, B.a[1][2] = 1, B.a[1][3] = 0, B.a[1][4] = 0, B.a[1][5] = 0;B.a[2][1] = 1, B.a[2][2] = 0, B.a[2][3] = 0, B.a[2][4] = 0, B.a[2][5] = 0;B.a[3][1] = 0, B.a[3][2] = 1, B.a[3][3] = 1, B.a[3][4] = 0, B.a[3][5] = 0;B.a[4][1] = 0, B.a[4][2] = 0, B.a[4][3] = 1, B.a[4][4] = 1, B.a[4][5] = 0;B.a[5][1] = 0, B.a[5][2] = 0, B.a[5][3] = 2, B.a[5][4] = 1, B.a[5][5] = 1;Counting(n - 2);//初始是s_2printf("%lld", A.a[1][1] + 2);//把前两个加进去return 0;
}