正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1119H

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题目大意

$n$个可重集，第$i$个里有$x$个$a_i$，$y$个$b_i$，$z$个$c_i$。

对于每个$t\in [0,2^k)$求每个集合里取出一个数使它们异或起来等于$t$的方案数。

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解题思路

如果直接$n$个东西$FWT$起来肯定过不了，我们需要根据每个集合里只有三种数这个性质来优化。

因为是$xor$卷积，所以第$i$个位置$FWT$之后对$j$造成的影响是$(-1{)}^{cnt(i\&j)}$（其中$cnt(x)$表示$x$在二进制下$1$的个数）

那么就有
$$FWT(S_i)=\sum _{i=1}^{2^k-1}(-1{)}^{cnt(j\&a_i)}x+(-1{)}^{cnt(j\&b_i)}y+(-1{)}^{cnt(j\&b_i)}z$$
现在我们就可以单独考虑每个$x,y,z$的贡献了，然后每个$FWT(S_i)[j]$有$8$个状态，为了方便我们缩减一下状态先。

首先我们先让所有的$x$都取到，也就是让所有的$b_i=b_{i}xor{a}_i,c_i=c_{i}xor{a}_i$，然后询问答案的时候我们再异或上一个$a$的异或和即可。

现在每个$FWT(S_i)[j]$有$4$种状态，分别是$(x+y+z),(x+y-z),(x-y+z),(x-y-z)$。定义这些状态数量分别为$a_1,a_2,a_3,a_4$

我们先考虑集合$i$的每种状态中$y$的影响$F_i$，有$F_i[k]=cnt(k\&a_i)$，而所有集合的影响和就是${\sum }_{i=1}^n{F}_i$。设$G_i=IFWT(F_i)$那么显然有$G_i[b_i]=1$其他都为$0$。

然后影响和就是$$\sum _{i=1}^{n}FWT(G_i)=FWT(\sum _{i=1}^n{G}_i)$$
所以直接把$G$都加起来然后$FWT$就好了，定义$y$的影响为$c_1$。

然后再同理搞出$z$和$y+z$的影响，分别为$c_2,c_3$，那么就有方程组
$$\{\begin{array}{c}{a}_1+a_2+a_3+a_4=n\\ a_1+a_2-a_3-a_4=c_1\\ a_1-a_2+a_3-a_4=c_2\\ a_1-a_2-a_3+a_4=c_3\end{array}$$
解出来就好了，然后用快速幂算出来$F={\prod }_{i=1}^{n}FWT(S_i)$，求一遍$IFWT(F)$即可。

时间复杂度$O(2^{k}k+n\log (x+y+z))$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=998244353;
const ll inv2=(P+1)/2;
ll n,k,x,y,z,xs;
ll f1[N],f2[N],f3[N],f[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;x%=P;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void FWT(ll *f,ll n,ll op){for(ll p=2;p<=n;p<<=1)for(ll k=0,len=p>>1;k<n;k+=p)for(ll i=k;i<k+len;i++){ll x=f[i],y=f[i+len];if(op==1){f[i]=x+y;f[i+len]=x-y;}else{f[i]=(x+y)*inv2%P;f[i+len]=(x-y)*inv2%P;}}return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&k);k=1<<k;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);for(ll i=1;i<=n;i++){ll a,b,c;scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);xs^=a;b^=a;c^=a;f1[b]++;f2[c]++;f3[b^c]++;}FWT(f1,k,1);FWT(f2,k,1);FWT(f3,k,1);for(ll i=0;i<k;i++){ll c1=f1[i],c2=f2[i],c3=f3[i];ll a1,a2,a3,a4;a4=(c3-c1-c2+n)/4;a3=-(c1-n+2ll*a4)/2;a2=-(c2-n+2ll*a4)/2;a1=n-a2-a3-a4;f[i]=power(x+y+z,a1)%P*power(x+y-z,a2)%P;f[i]=f[i]*power(x-y+z,a3)%P*power(x-y-z,a4)%P;}FWT(f,k,-1);for(ll i=0;i<k;i++)printf("%lld ",(f[i^xs]+P)%P);return 0;
}