正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6222

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题目大意

给出$k$，$T$组询问给出$n$求
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j{)}^k\times gcd(i,j)\times \mu (gcd(i,j){)}^2$$

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解题思路

开始忘记了$k$次幂能线性筛后面全推错了，既然可以线性筛$k$次幂就把$gcd(i,j)$提到前面来。
$$\sum _{d=1}^n\mu (d{)}^{2}d\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)=d](i+j{)}^k$$
这里有一个比较巧妙的思路就是，可以把$\mu (d{)}^{2}d$提前莫反之后一起套进莫反里。
设有
$$\sum _{d|n}g(d)=\mu (n{)}^{2}n\Rightarrow g(n)=\sum _{d|n}\mu (\frac{n}{d})\mu (d{)}^{2}d$$
然后莫反原式就有一个比较简单的式子了
$$\sum _{d=1}^{n}g(d)d^k\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }(i+j{)}^k$$
设$S(n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n(i+j{)}^k$，这个东西是可以线性预处理的。

先预线性筛+前缀和处理出$s(n)={\sum }_{i=1}^n{i}^k$，就有$S(n)=\left({\sum }_{i=n+1}^{2n}s(i)\right)-\left({\sum }_{i=1}^{n}s(i)\right)$，再用一个前缀和就好了。

然后就有式子
$$\sum _{d=1}^{n}g(d)d^{k}S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$
这个知道怎么筛$g(d)d^k$之后好像就可以$O(T\sqrt{n})$做了？发现$g$里面有个$n$还是很难搞。
然后可以一顿操作把下取整搞掉，设$S^{\prime }(x)=S(x)-S(x-1)$，那么就有
$$\sum _{d=1}^{n}g(d)d^k\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{S}^{\prime }(i)$$
然后把$i$提出来就有
$$\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}g(d)d^k{S}^{\prime }(\frac{n}{d})$$
然后就会发现这是两个函数狄利克雷卷积的前缀和？
$f(n)=g(n)n^k=n^k{\sum }_{d|n}\mu (\frac{n}{d})\mu (d{)}^{2}d$是积性函数，所以我们可以用埃氏筛的方法来快速搞这个东西。

首先我们需要知道对于一个质数$p$，$f(p^e)$如何快速计算。
这里是有结论的

• 若$e=0$则$f(p^0)=f(1)=1$
• 若$e=1$则$f(p^1)=p\times (1\times \mu (1{)}^2\mu (p)+p\times \mu (1)\mu (p{)}^2)=p(p-1)$
• 若$e=2$则$f(p^2)=p^2\times (\mu (p^2)\mu (1{)}^2+\mu (p)\mu (p{)}^{2}p+\mu (1)\mu (p^2{)}^2{p}^2)=-p^2$
• 若$e\ge 3$那么若$\mu (d)\ne 0$那么一定有$\mu (\frac{n}{d})=0$，所以$f(p^e)=0$

然后就可以开始做了，怎么快速计算狄利克雷卷积？埃氏筛给过我们方法，对于一个积性函数$f$，我们可以拆成若干个$f_p$满足
$$f_p(x)=[p^e=x]f(x)(p\in Pri)$$
（$Pri$是质数集）

然后有$f={\prod }_{p\in Pri}{f}_p$（乘法表示狄利克雷积）

所以把所有的$f_p$乘到$S^{\prime }$里去就好了，这个是枚举所有质数的倍数来搞的，时间复杂度$O(n\log \log n)$

所以总共的时间复杂度就是$O(T+n\log \log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define uit unsigned int
using namespace std;
const int N=2e7+10;
int t,n,k,cnt;
uit pri[N],pw[N],s[N];
bool v[N];
uit power(uit x,int b){uit ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x;x=x*x;b>>=1;}return ans;
}
void init(){s[1]=1;for(int i=2;i<=n*2;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,s[i]=power(i,k);for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n*2;j++){v[i*pri[j]]=1;s[i*pri[j]]=s[i]*s[pri[j]];if(i%pri[j]==0)break;}}for(int i=1;i<=n*2;i++)pw[i]=s[i],s[i]=s[i-1]+s[i];for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i*2]+s[i*2-1]-s[i]*2;for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]<=n;j++)for(int x=pri[j],i=n/x;i>=1;i--){s[i*x]+=s[i]*(x-1)*pw[x];if(i%x==0)s[i*x]-=s[i/x]*x*pw[x]*pw[x];}for(int i=1;i<=n;i++)s[i]+=s[i-1];return;
}
int main()
{scanf("%d%d%d",&t,&n,&k);init();while(t--){scanf("%d",&n);printf("%u\n",s[n]);}return 0;
}