【做题记录】 [HEOI2013]SAO

P4099 [HEOI2013]SAO

类型：树形 \(\text{DP}\)

这里主要补充一下 \(O(n^3)\) 的 \(\text{DP}\) 优化的过程，基础转移方程推导可以参考其他巨佬的博客(题解)。

令 \(f[x][p]\) 表示在以 \(x\) 为根的子树中，\(x\) 在拓扑序排在第 \(p\) 个时的方案数。

转移中设 \(x\) 在已经合并的拓扑序中排名为 \(p_1\) ，将要合并的子树(以 \(ver\) 为根)中 \(ver\) 排名为 \(p_2\) ，合并后 \(x\) 排名为 \(p_3\) 。

列出转移方程：(为了表示方便略去了取模操作)

• 若 \(x < ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之前，\(p_1<p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])for(p2 = [1,siz[ver]])for(p3 = [p1,p1+p2-1])f[x][p3]+=f[x][p1]*f[ver][p2]*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

• 若 \(x > ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之后，\(p_1>p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])for(p2 = [1,siz[ver]])for(p3 = [p1+p2,siz[x]+siz[ver]])f[x][p3]+=f[x][p1]*f[ver][p2]*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

(更直观的转移方程：)

\[f[x][p3]+=f[x][p1]\times f[ver][p2]\times C_{p3-1}^{p1-1}\times C_{siz[x]+siz[ver]-p3}^{siz[x]-p1} \]

到此为止，你可以得到 \(40pts\) 的好成绩。

交换内外循环

可以观察到 \(p_2\) 在转移方程中只出现了一次，因此我们将 \(p_2\) 和 \(p_3\) 的循环交换，列出转移方程：

• 若 \(x < ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之前，\(p_1<p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])for(p3 = [p1,p1+siz[ver]-1])for(p2 = [p3-p1+1,siz[ver]])f[x][p3]+=f[x][p1]*f[ver][p2]*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

• 若 \(x > ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之后，\(p_1>p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])for(p3 = [p1+1,p1+siz[ver]])for(p2 = [1,p3-p1])f[x][p3]+=f[x][p1]*f[ver][p2]*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

前缀和优化去掉一层循环

通过上一步的交换，发现 \(f[x][p3]\) 累加中的 \(p2\) 是一段连续的，并且满足乘法结合律，联想到前缀和优化。

令 \(g[x][p]\) 表示在以 \(x\) 为根的子树中，\(x\) 在拓扑序排在前 \(p\) 个时的方案数之和。

那么转移方程变为：

• 若 \(x < ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之前，\(p_1<p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])for(p3 = [p1,p1+siz[ver]-1])g[x][p3]+=g[x][p1]*(g[ver][siz[ver]]-g[ver][p3-p1])*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

• 若 \(x > ver\) 即 \(x\) 应在 \(ver\) 之后，\(p_1>p_2\) 。

for(p1 = [1,siz[x]])for(p3 = [p1+1,p1+siz[ver]])g[x][p3]+=g[x][p1]*g[ver][p3-p1]*c[p3-1][p1-1]*c[siz[x]+siz[ver]-p3][siz[x]-p1];

记得在最后加上：

for(int i=1;i<=siz[x];i++) g[x][i]+=g[x][i-1];

所以这道题 \(AC\) 了。

注：转移中为了维持方程的无后效性，应将 \(f\) 数组备份一遍。

\(100pts\) 完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Maxn 1005
#define mod 1000000007
inline int rd()
{int x=0;char ch,t=0;while(!isdigit(ch = getchar())) t|=ch=='-';while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();return x=t?-x:x;
}
int t,n,tot;
int dp[Maxn][Maxn],tmp[Maxn],c[Maxn][Maxn],siz[Maxn];
int hea[Maxn],nex[Maxn<<1],ver[Maxn<<1],edg[Maxn<<1];
void add(int x,int y,int d)
{ver[++tot]=y,nex[tot]=hea[x],hea[x]=tot,edg[tot]=d;
}
void dfs(int x,int fa)
{siz[x]=1,dp[x][1]=1;for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){if(ver[i]==fa) continue;dfs(ver[i],x);memcpy(tmp,dp[x],sizeof(dp[x]));memset(dp[x],0,sizeof(dp[x]));if(edg[i])for(int p1=1;p1<=siz[x];p1++)for(int p3=p1;p3<=siz[ver[i]]+p1-1;p3++)dp[x][p3]=(dp[x][p3]+1ll*tmp[p1]*(dp[ver[i]][siz[ver[i]]]-dp[ver[i]][p3-p1]+mod)%mod*c[p3-1][p1-1]%mod*c[siz[x]+siz[ver[i]]-p3][siz[x]-p1]%mod)%mod;elsefor(int p1=1;p1<=siz[x];p1++)for(int p3=p1+1;p3<=siz[ver[i]]+p1;p3++)dp[x][p3]=(dp[x][p3]+1ll*tmp[p1]*dp[ver[i]][p3-p1]%mod*c[p3-1][p1-1]%mod*c[siz[x]+siz[ver[i]]-p3][siz[x]-p1]%mod)%mod;siz[x]+=siz[ver[i]];}for(int i=1;i<=siz[x];i++) dp[x][i]=(dp[x][i]+dp[x][i-1])%mod;
}
int main()
{//freopen(".in","r",stdin);//freopen(".out","w",stdout);c[1][0]=c[0][0]=1;for(int i=1;i<=1000;i++,c[i][0]=1)for(int j=1;j<=i;j++)c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;t=rd();char c;while(t--){n=rd();memset(hea,0,sizeof(hea)),tot=0;memset(siz,0,sizeof(siz));for(int i=1,x,y;i<n;i++){x=rd()+1,cin>>c,y=rd()+1;add(x,y,c=='<'),add(y,x,c=='>');}dfs(1,0);printf("%d\n",dp[1][n]);}//fclose(stdin);//fclose(stdout);return 0;
}