正题

题目链接:https://codeforces.com/contest/536/problem/C

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题目大意

$n$个人，第$i$个人的游泳速度$s_i$，跑步速度是$r_i$。如果跑道长度是$R$，泳道长度是$S$那么一个人的用时就是$\frac{R}{r_i}+\frac{S}{s_i}$，在$R/S$不定的情况下然后求出所有可能是用时最短的人。

$1\le n\le 10^5,1\le s_i,r_i\le 10^4$

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解题思路

设$k=\frac{R}{S}$，那么用时可以化为$\frac{k}{r_i}+\frac{1}{s_i}$。

然后对于一个点$(-\frac{1}{r_i},\frac{1}{s_i})$，我们可以视为用一条斜率为$k$的斜线去截这些点然后让截距最小。

直接维护一个凸壳就好了，然后注意因为$R/S$都是正数所以$k$也得是正数，所以要把后段丢掉。

时间复杂度：$O(n\log n)$

当然还有一个更神奇的做法，因为对于一个$s_i$我们只需要最大的$r_i$所以有用的点数不超过$10^4$，可以直接平方暴算。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
const double eps=1e-8;
struct node{double x,y;int id;
}q[N];
int n,top,s[N],ans[N],l[N];
bool cmp(node x,node y)
{return (x.x==y.x)?(x.y>y.y):(x.x<y.x);}
double slope(node a,node b)
{return (b.y-a.y)/(b.x-a.x);}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){double x,y;q[i].id=i;scanf("%lf%lf",&x,&y);q[i].x=1e5/x;q[i].y=1e5/y;}sort(q+1,q+1+n,cmp);for(int i=1;i<=n;i++)if(q[i].x==q[i-1].x&&q[i].y==q[i-1].y)l[i]=l[i-1];else l[i]=i;for(int i=1;i<=n;i++){if(q[i].x==q[i+1].x)continue;while(top>1&&slope(q[s[top-1]],q[s[top]])-eps>slope(q[s[top-1]],q[i]))top--;s[++top]=i;}for(int i=1;i<=top;i++){for(int j=l[s[i]];j<=s[i];j++)ans[q[j].id]=1;if(q[s[i]].y<=q[s[i+1]].y)break;}for(int i=1;i<=n;i++)if(ans[i])printf("%d ",i);return 0;
}