正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1556F

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题目大意

$n$个点的一张竞赛图，每个点有一个权值$a_i$，$(i,j)$之间的边$i$连$j$的概率是$\frac{a_i}{a_i+a_j}$，否则$j$连$i$。

现在期望有多少个点能走到全图的任意一个点。

$1\le n\le 14,1\le a_i\le 10^6$

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解题思路

考虑状压$dp$，首先枚举起点$p$，设$f_S$表示目前只考虑了点集$S$且$p$都能到达。

那么对于点集$S$是任意一张图的概率是$1$，然后考虑枚举一个$p$能到达的集合$T$之后其他点$p$都不能到达，为了方便表示下面记$g_{S,T}$表示点集$S$和$T$之间的边都是$S$指向$T$的概率那么有
$$1=\sum _{T\subseteq S}{f}_T\times g_{S-T,T}$$
$$\Rightarrow f_S=1-\sum _{T\subset S}{f}_T\times g_{S-T,T}$$

考虑如何预处理$g_{S,T}$，不难发现因为$S\cap T=\varnothing$所以这个状态数是$3^n$的我们可以用三进制状压，不过得先预处理$r_{p,S}$表示$p$与集合$S$之间的边都是$p$连向$S$的概率。

时间复杂度：$O(3^{n}n+2^n{n}^2)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=14,M=2e6+10,P=1e9+7;
ll n,ans,inv[M],pw[N+1],a[N],r[N][1<<N],tr[1<<N],f[1<<N],g[4782969];
signed main()
{inv[1]=1;for(ll i=2;i<M;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;scanf("%lld",&n);for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&a[i]);ll MS=(1<<n);for(ll p=0;p<n;p++){r[p][0]=1;for(ll s=0;s<MS;s++){if((s>>p)&1)continue;for(ll i=0;i<n;i++)if((s>>i)&1){r[p][s]=r[p][s^(1<<i)]*a[p]%P*inv[a[p]+a[i]]%P;break;}}}pw[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++)pw[i]=pw[i-1]*3;for(ll s=1;s<MS;s++)for(ll i=0;i<n;i++)if((s>>i)&1)tr[s]=tr[s^(1<<i)]+pw[i];for(ll s=0;s<pw[n];s++)g[s]=1;for(ll s=0;s<MS;s++)for(ll i=0;i<n;i++){if(!((s>>i)&1))continue;for(ll t=s;t;t=(t-1)&s){if((t>>i)&1)continue;(g[tr[s]+tr[t]]*=r[i][t])%=P;}}for(ll p=0;p<n;p++){memset(f,0,sizeof(f));for(ll s=0;s<MS;s++){if(!((s>>p)&1))continue;f[s]=1;for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s){if(!((t>>p)&1))continue;(f[s]+=P-f[t]*g[tr[s]+tr[t]]%P)%=P;}}(ans+=f[MS-1])%=P;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}