problem

luogu-P3698

solution1-贪心

显然我们想尽可能地少走回头路，即一直往下走。

所以我们可以都会有个初步地猜测是走最长链。

但很快就会想到万一这是一条单链，链中的点都是二度点，走得越深回头浪费的步数也越多。

然后就可能直接把这种想法抛却了。

以上都是脑中不到两分钟的粗略思路，很容易误判。

实际上仔细想想，建议画几个树，就会发现最优解总可以调整成走长链。

当开始走长链的时候，就一定不会走回头路了。

考虑一条链，当走到底的时候发现有多余的步数，然后又发现链中某点有多个儿子，我们现在才返回去走一条新链的话，这个浪费的步数就太多了。

所以我们应当是预知有多余的步数，然后再走到那个点的时候，就先走新链，然后再倒回来继续走这条链。

对于新链而言一样按照上面的预知流程执行。

可以感觉地到这是个递归的过程。

但这并不是代码实现，这只是来佐证贪心猜测的正确性的。

这也是网上题解说的 走完最长链上的点后，每两步能到达一个新的点 ，这不是代表着一定是先走完最长链再回头，还是最优解可以将步数和点数按照这种方式对应上。

时间复杂度 $O(n)$，所以说出题人完全可以将 $n$ 开大点，卡掉 $dp$ 的做法。

为你的良心点赞👍

code1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 105
vector < int > G[maxn];
int n, m, ans;void dfs( int u, int fa, int dep ) {ans = max( ans, dep );for( int v : G[u] ) if( v == fa ) continue;else dfs( v, u, dep + 1 );
}int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1, u, v;i < n;i ++ ) {scanf( "%d %d", &u, &v );G[u].push_back( v );G[v].push_back( u );}dfs( 0, 0, 1 );if( m <= ans ) printf( "%d\n", m + 1 );else printf( "%d\n", min( n, ans + (m - ans + 1) / 2 ) );return 0;
}

solution2-树形dp

这种样子，长得就像个树形 $dp$。

设 $f(i,j):$ 在以 $i$ 为根的子树内，从 $i$ 开始向下在子树内走了 $j$ 步最多经过的节点数。

然后可能就直接从上往下用 $fa$ 的 $f$ 更新 $u$ 的 $f$ ，此时有新加点；

然后搜索 $u$ 子树，完了回来又从下往上更新，此时不会有新加点。

实际上这种做法的正确性必须保证对于一棵树 $\text{dfs}$ 先搜的就是最长链，相当于是跑的贪心。

实在不理解的可以自己写个数据生成器，不用多大 $8$ 以内都能给你排出错误来。

其实问题与贪心思考的一样，就是是否回到这个点来。我们将这个变成第三维。

设 $f(i,j,0/1):0$ 不回到 $u$ 点，$1$ 回到 $u$ 点。

则对于 $u$ ，枚举儿子 $v$，以及自己一共在子树内走的步数，和 $v$ 在子树内走的步数：
$$\{\begin{array}{l}f(u,i,0)=\max \{f(u,i-j,1)+f(v,j-1,0),f(u,i-j,0)+f(v,j-2,1)\}\\ f(u,i,1)=\max \{f(u,i-j,1)+f(v,j-2,1)\}\end{array}$$
回来的话 $u-v$ 这条边就要走两次，所以是 $-2$，否则 $-1$。

时间复杂度 $O(n^3)$。

哪哪儿都比不上贪心好吧

code2

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 105
vector < int > G[maxn];
int n, m;
int f[maxn][maxn][2];void dfs( int u, int fa ) {f[u][0][1] = f[u][0][0] = 1;for( int v : G[u] )if( v ^ fa ) {dfs( v, u );for( int i = m;i;i -- )for( int j = 1;j <= i;j ++ ) {if( j > 0 ) f[u][i][0] = max( f[u][i][0], f[u][i - j][1] + f[v][j - 1][0] );if( j > 1 ) f[u][i][0] = max( f[u][i][0], f[u][i - j][0] + f[v][j - 2][1] );if( j > 1 ) f[u][i][1] = max( f[u][i][1], f[u][i - j][1] + f[v][j - 2][1] );}}
}int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1, u, v;i < n;i ++ ) {scanf( "%d %d", &u, &v );G[u].push_back( v );G[v].push_back( u );}dfs( 0, 0 );int ans = 0;for( int i = 0;i <= m;i ++ ) ans = max( ans, max( f[0][i][1], f[0][i][0] ) );printf( "%d\n", ans );return 0;
}