分支限界法是一种求解优化问题的算法，针对01背包问题，它可以通过在搜索过程中剪枝，减少搜索空间的大小，提高算法的效率。
具体来说，分支限界法会将当前状态下的可行解集合分成若干个子集，每个子集代表一条搜索路径，然后根据某种启发式策略（如最大价值优先、最小重量优先等）对这些子集进行排序，选择价值最大/重量最小的子集进行扩展，将其分成若干个子集，再重复上述过程，直到找到最优解或者搜索结束。
在求解01背包问题时，分支限界法每次扩展节点时，会判断当前节点能否产生更优的解，如果不能，就进行剪枝，减少搜索空间。例如，如果当前节点已经超出了背包的容量限制，就可以直接剪枝，不再继续扩展。在搜索过程中，分支限界法还会维护一个上界，即当前可行解集合中的最优解，如果当前节点的下界已经小于上界，也可以直接剪枝，不再继续扩展。
分支限界法是一种高效、精确的求解优化问题的算法，但需要注意的是，它并不保证一定能找到最优解，因为搜索空间较大时，其时间复杂度可能会非常高。
代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>#define MAX_N 1000 // 最大物品数量
#define MAX_W 1000 // 最大背包容量int n; // 物品数量
int w[MAX_N]; // 物品重量
int v[MAX_N]; // 物品价值
int c; // 背包容量
int maxv; // 最大价值
int curw; // 当前背包重量
int curv; // 当前背包价值
int bestv[MAX_W]; // bestv[i]表示当前索引为i时，背包容量为i时的最大价值// 计算以j为索引、背包容量为c的情况下，能够获得的最大价值
int bound(int j, int c) {int b = curv;int leftw = c - curw;while (j < n && leftw >= w[j]) {leftw -= w[j];b += v[j];j++;}if (j < n) {b += leftw * v[j] / w[j];}return b;
}// 搜索第i个物品是否放入背包
void dfs(int i) {if (i == n) { // 达到叶子节点，更新最大价值maxv = curv;return;}// 不选第i个物品bestv[i+1] = bound(i+1, c); // 计算下一个物品的最大价值if (bestv[i+1] < maxv) { // 如果最大价值都小于当前最大价值，直接返回return;}dfs(i+1);// 选第i个物品if (curw + w[i] <= c) { // 可以放入背包curw += w[i];curv += v[i];if (curv > maxv) { // 更新最大价值maxv = curv;}bestv[i+1] = bound(i+1, c); // 计算下一个物品的最大价值if (bestv[i+1] > maxv) { // 如果最大价值比当前最大价值大，继续搜索dfs(i+1);}curw -= w[i]; // 回溯curv -= v[i];}
}int main() {// 读入数据scanf("%d%d", &n, &c);for (int i = 0; i < n; i++) {scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);}// 初始化maxv = curv = 0;curw = 0;bestv[0] = bound(0, c);// 搜索dfs(0);// 输出结果printf("%d\n", maxv);return 0;
}
分支限界法的思路如下：
- 按照某种规则先对问题求出一个下界，把问题分成可行和不可行两种情况。对于可行的情况，可以计算出对应的最优解的上界（贪心法、动态规划等）。
- 依次搜索所有可能的解，在搜索过程中，利用计算出的上界剪枝，即当某个节点的上界小于当前最优解时，可以直接返回上一层，省略掉这个分支。
- 在搜索过程中，记录当前的最优解，并不断更新。当达到叶子节点，即搜索结束时，返回最优解。
对于01背包问题，每个节点有两种情况，即选或不选当前物品。对于每个节点，可以计算出剩余物品的最大价值，从而计算出当前节点可以达到的最大价值（上界）。用一个数组bestv记录每个节点的最大价值，如果当前节点的上界小于当前最优解，直接返回；如果当前节点的最大价值比当前最优解大，继续搜索。在搜索过程中，使用变量curw和curv记录当前的背包重量和价值，变量maxv记录当前的最大价值。
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