反向传播为何如此高效？解锁其核心引擎：链式法则

一、从计算图的反向传播说起

我们先来看一个最简单的例子。假设有一个计算：y = f(x)，它的反向传播过程如下图所示：

关键点：

• 反向传播时，信号（比如上图中的 E）会沿着与正向传播相反的方向流动。
• 每经过一个节点，信号就会乘以该节点函数的局部导数（即∂y/∂x）。
• 结果继续传给上一个节点。

例如，若y = f(x) = x²，则局部导数为∂y/∂x = 2x。反向传播时，上游传来的值会乘以2x，再继续往前传。

那么，为什么这种“倒着传并相乘”的方式，就能高效地计算出我们需要的所有导数呢？
答案就在链式法则之中。

二、链式法则：复合函数求导的“捷径”

链式法则，本质上是关于复合函数求导的性质。
什么是复合函数？比如：

z = (x + y)²

它可以看作由两个函数复合而成：

1. t = x + y
2. z = t²

链式法则告诉我们：一个复合函数的导数，等于组成它的各层函数的导数的乘积。

写成数学形式就是：

∂z/∂x = ∂z/∂t · ∂t/∂x

有没有发现等式右边的∂t看起来像是可以“约掉”的？这其实是链式法则的一个直观记忆方法——就像连锁反应一样，导数可以沿着路径逐层传递。

三、动手算一下：链式法则的实际应用

我们还是用z = (x + y)²的例子，来实际求一下∂z/∂x。

1. 先拆解函数，并求局部导数：

   • ∂z/∂t = 2t
   • ∂t/∂x = 1

2. 根据链式法则：

   ∂z/∂x = ∂z/∂t · ∂t/∂x = 2t · 1 = 2t

3. 因为t = x + y，所以最终结果：

   ∂z/∂x = 2(x + y)

可以看到，我们不需要直接对z = (x+y)²求导，而是通过中间变量t，分步、分层地完成计算。这就是链式法则的威力。

四、当链式法则遇上计算图：反向传播的诞生

如果我们把上面的计算过程用计算图表示，并标出反向传播的路径，会得到下面这张图：

我们来跟踪一下反向传播的流程：

1. 信号从最右边的∂z/∂z开始（其实就是1）。
2. 经过 “²” 节点时，信号乘以该节点的局部导数∂z/∂t。
3. 再经过 “+” 节点时，信号乘以∂t/∂x。
4. 最终到达左端，得到的结果正是∂z/∂x。

你会发现，计算图上反向传播的路径，完全对应链式法则的乘法链：

∂z/∂x = (∂z/∂z) · (∂z/∂t) · (∂t/∂x)

这正是反向传播能够自动、高效计算所有参数梯度的根本原因。

代入我们刚才算出的具体导数∂z/∂t = 2t和∂t/∂x = 1，最终结果∂z/∂x = 2(x+y)便一目了然：

五、博主小结

链式法则，是反向传播的灵魂。
它允许我们将复杂的复合函数求导，分解为一系列简单操作的导数乘积。而计算图的反向传播，则是链式法则的一个可视化、程序化的完美实现。

理解了这个过程，你就不再会觉得反向传播是“玄学”。它只是在计算图上，沿着链式法则规定的路径，将梯度从输出端“送”回每一个输入端而已。这种机制使得神经网络无论多深，都能在一次前向和一次后向传播中，高效计算出所有参数的梯度。

希望这篇文章能帮你打通理解反向传播的“任督二脉”。下次我们聊聊激活函数的导数在反向传播中扮演的角色。