做题记录1
P8356 「WHOI-1」数列计数
简单dp
显然有方程 \(dp[i][j]\) 表示第 \(i + j\) 个数由 \(i\) 个 \(x\) 和 \(j\) 个 \(y\) 构成， 所以显然有转移
注意到范围较大，需要滚动数组。
注意边界 \(x = y\) 时单独判断。
复杂度 \(O(n^2)\) 。
P10391 [蓝桥杯 2024 省 A] 零食采购
lca + 状压
注意到题目中的图可以转化为有根树，之后在树上作 \(lca\) 即可。
倍增的维护零食的种类，可以使用状压优化更好写。
令 \(w[i][k]\) 表示从\(i\)往上跳\(2^k\)所包含的零食方案数(不包含点 \(i\))，在计算 \(fa\) 时，显然有
注意一些小细节即可，复杂度 \(O(n\log{n})\) 。
P1613 跑路
倍增 + 最短路
题目中条件给出长度为 \(2^k\) 的边可缩为长度为 \(1\) 的边，由此发现可以倍增预处理。
令 \(f[i][j][t]\) 表示从点\(i\)到点\(j\)长度是否为\(2^t\)，显然有转移
其中 \(k\) 为拐点，依照 \(f\) 建图后跑一遍最短路即可。
复杂度 \(O(n^3\log{n})\) ，注意要建有向图。
P6833 [Cnoi2020] 雷雨
最短路 + 坐标系
题目要求求出一点 \(O(n, a)\) 到两点 \(A(1, b)\) 和 \(B(1, c)\) 的最短路。
注意到可以分为三段求，分别求出 \(O\) 、 \(A\) 和 \(B\) 到任一点的最短路，最后枚举中间点即可。
注意传入函数内的数组的一维不可以用 \(memset\) ，会重置整个数组， 还有题目 \(n\) 、 \(m\) 反着给出，复杂度 \(O(n ^ 2 \times \log{n ^ 2})\) 。
D3jn9 [VWOI Round 3] 网络
lca sdsz
阅读题目可以发现，操作 \(1\) 直接 \(lca\) 即可。
对于操作 \(2\) ，我们额外维护两个数组 \(mind[i]\) 和 \(f[i][k]\) 分别表示与 \(i\) 点相连的所有边的最小值和从 \(i\) 开始向上跳 \(2^k\) 步所包含的点的所有 \(mind\) 的值的最小值。
显然发现初始化 \(fa\) 可以顺便初始化 \(f\) 。
之后操作 \(2\) 在求 \(lca\) 时可以同时取遍历到的 \(f\) 最小值，注意一定在点更新前取，否则错误。
同时，操作三保证增加的点一定连接于叶节点，所以可以加点后直接向上更新这一个新加的点，无需重新遍历全图。
UVA - 1013 Island Hopping
最小生成树 + floyd
注意到题目中要求的最优方案需要所有点到源点的路径上的最大值最小，所以此图的最小生成树一定最优。
跑完生成树后在生成树上跑一边 \(floyd\) 求出任意两点之间的路径上的最大值，依题意计算即可。
UVA - 1079 A Careful Approach
二分
首先注意到 \(n \le 8\) ，考虑直接枚举每个飞机着陆的顺序，之后二分枚举最大间隙即可。
二分判断遍历时，设上一架飞机着陆时间为 \(lst\) ，当前二分的最大间隙为 \(ans\) ，现在飞机可着陆的区间为 \(\left[\max(lst + ans, a_i), b_i\right]\) ，选左端点显然最优。
注意此题精度问题。
P10447 最短 Hamilton 路径
状压dp
注意到 \(n \le 20\) ，考虑状压 \(dp\) ，令 \(f[i][j]\) 表示已遍历点状态为 \(i\) ，当前遍历到 \(j\) 的最小权值。更新时枚举一轮 \(k\) 为 \(j\) 的上一个点，显然有
P2114 [NOI2014] 起床困难综合症
位运算
考虑枚举答案的每一个二进制位，\(0\) 或 \(1\) 取最大即可，水绿。
P10931 闇の連鎖
树上差分
注意到主要边是一颗树，考虑将主要边建出来，再计算附加边的影响。
可以发现，每一条附加边可以影响以附加边两点往上到两点 \(lca\) 的边，直接树上差分维护影响即可(将两点到 \(lca\) 都加 \(1\))，最后统计权值为 \(0\) 或 \(1\) 的边即可。
P2680 [NOIP 2015 提高组] 运输计划
树上差分 + lca + 二分
阅读题面，题目要求求将树上一条边变为 \(0\) 后所有询问点的各自的最短路，所有询问同时进行，我们可以发现答案是求所有方案最大值的最小值，考虑二分答案。
设二分时最大值为 \(k\) ，我们只需要考虑最短路 \(> k\) 的点对。我们可以统计每个点对的贡献，即给点对的最短路 \(+ 1\) ，树上差分维护即可。最后枚举差分值 \(= cnt\) 的边判断是否有解。
P4826 [USACO15FEB] Superbull S
生成树
考虑将所有点两两相连，边权为 \(a_i \oplus a_j\) ，建成一张图。我们认为此图上一棵生成树所代表的方案是从底向自己的父节点匹配，发现此图的所有生成树正是所有方案，直接求最大生成树即可。
D6nhs AC's String
线段树 + 字符串哈希 sdsz
由题意，我们考虑对长串进行字符串哈希，为实现单点修改，考虑使用线段树维护。为方便维护，我们令字符串的哈希值为 \(a + bx + cx ^ 2 + dx^3\) 的形式，合并时权值为左区间加右区间乘以左区间的长度，额外动态维护一个字符串长度即可。
P2512 [HAOI2008] 糖果传递
推式子
设 \(A_i\) 为第 \(i\) 人手中糖果数，
\(X_i\) 为第 \(i\) 人向左传递的糖果数，向右可理解为负数，
\(avg\) 为所有糖果的平均数，即最终每人手中的糖果数。
依题意有：
整理得：
设 \(C_i = \sum_{j = 1} ^ {i}A_j + i \times avg\) ，则有：
所以我们需要最小 \(|X_1 - C_1| + |X_1 - C_2| + ... + |X_1 - C_{n}|\) 。
由于 \(C_i\) 为定值，我们考虑 \(X_i\) 即可。可以将式子理解为 \(X_1\) 到所有 \(C\) 的距离和最小，显然 \(X_1\) 为所有数的中位数。
由此递推即可。
中位数证明懒得写，借一张图。
P8255 [NOI Online 2022 入门组] 数学游戏
gcd
由题意，设 \(x = d \times a\) ， \(y = d \times b\) ， \(\gcd(x, y) = d\) 且 \(gcd(a, b) = 1\) 。
显然有：
因为 \(gcd(a, b) = 1\) ，所以
整理一下，当 \(gcd(\frac{z}{x}, x ^ 2)\) 为完全平方数时， \(y\) 存在， 此时
请注意， \(sqrt\) 函数返回值为 \(double\) 直接参与运算会转为浮点类型，所以请对返回值进行强制类型转换。
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