J. 脑筋急转弯王国
题面
对于每个正整数 \(i\) ，我们定义它的映射值 \(b_i\) 如下：
- 如果不存在小于 \(i\) 的正整数 \(k\) 使得 \(b_k = i\) ，那么 \(b_i = 5 \times i\) 。
- 否则，\(b_i\) 等于那个满足 \(b_k = i\) 的 \(k\) 。
可以证明，这个规则为每个正整数 \(i\) 都唯一确定了一个 \(b_i\) 。
给定正整数 \(N\)。请你计算下列表达式的值。
\[S(N) = \sum_{i = 1}^{N} b_i
\]
由于答案可能很大，请你输出表达式对 \(10^9 + 7\) 取模的结果。
Analyse
不难发现对于单个映射只需考虑其因数中 \(5\) 的次数的奇偶性，那么对于多个映射的前缀和只要找规律即可，计算每个次数的贡献，公式也很简单。
设
\[G(x)=\frac{x(x+1)}{2}-5\times \frac{\lfloor\frac{x}{5}\rfloor(\lfloor\frac{x}{5}\rfloor+1)}{2}
\]
则有：
\[ans=\sum_{i=0}^{\lfloor\log_{5}n \rfloor} 5^{i\oplus 1} \times G(\lfloor\frac{n}{5^i}\rfloor)
\]
难度不高，但是要记得取模防爆，可惜我懒得搞了，__int128 卡过去了。代码丑的要死
#include<bits/stdc++.h>
#define int __int128
using namespace std;
const int p=1e9+7,N=1e5+10;
long long n;
int ans(0LL);
int tem[N],cnt(0LL);
int G(int x){return ((x*(x+1)/2)%p)%p-5*(((x/5+1)*(x/5)/2)%p)%p+p;
}
signed main(){cin>>n;for(int x=n;x;x/=5,cnt++)cnt--;tem[0]=1LL;for(int i=1;i<=20;++i) tem[i]=tem[i-1]*5LL;for(int i=0;i<=cnt;++i){ans=(ans+tem[i^1]%p*G(n/tem[i])%p)%p;}cout<<(long long)(ans%p)<<endl;
}
)
