2025年12月GESP真题及题解(C++八级): 宝石项链
题目描述
小 A 有一串包含n nn枚宝石的宝石项链，这些宝石按照在项链中的顺序依次以1 , 2 , … , n 1,2,\ldots,n1,2,…,n编号，第n nn枚宝石与第1 11枚宝石相邻。项链由m mm种宝石组成，其中第i ii枚宝石种类为t i t_iti。
小 A 想将宝石项链分给他的好朋友们。具体而言，小 A 会将项链划分为若干连续段，并且需要保证每段都包含全部m mm种宝石。请帮小 A 计算在满足条件的前提下，宝石项链最多可以划分为多少段。
输入格式
第一行，两个正整数n , m n,mn,m，分别表示宝石项链中的宝石的数量与种类数。
第二行，n nn个正整数t 1 , t 2 , … , t n t_1,t_2,\ldots,t_nt1,t2,…,tn，表示每枚宝石的种类。
输出格式
输出一行，一个整数，表示宝石项链最多可以划分的段数。
输入输出样例 1
输入 1
6 2 1 2 1 2 1 2输出 1
3输入输出样例 2
输入 2
7 3 3 1 3 1 2 1 2输出 2
2说明/提示
对于40 % 40\%40%的测试点，保证2 ≤ n ≤ 1000 2\le n\le 10002≤n≤1000。
对于所有测试点，保证2 ≤ n ≤ 10 5 2\le n\le 10^52≤n≤105，2 ≤ m ≤ n 2\le m\le n2≤m≤n，1 ≤ t i ≤ m 1\le t_i\le m1≤ti≤m，保证1 , 2 , … , m 1,2,\ldots,m1,2,…,m均在t 1 , t 2 , … , t n t_1,t_2,\ldots,t_nt1,t2,…,tn中出现。
思路分析
这是一个环形数组划分问题。我们需要将一个环形宝石项链（第n个宝石与第1个宝石相邻）划分为若干连续段，每段必须包含全部m种宝石，求最多能划分多少段。
核心难点
- 环形结构：数组是环形的，需要考虑循环的情况
- 最短包含所有宝石的段：要划分尽可能多的段，每段应该是包含所有m种宝石的最短连续段
- 贪心策略：每次找到最短的合法段，然后从下一位置继续寻找
算法思路
- 环形处理：将原数组复制一份接在后面，形成2n长度的数组，这样环形问题转化为线性问题
- 滑动窗口：使用双指针维护一个包含所有m种宝石的最短窗口
- 贪心划分：
- 从起点开始，找到最短的包含所有宝石的段
- 记录这个段的结束位置，然后从下一个位置继续寻找
- 重复直到覆盖整个环形数组
- 最大化段数：由于是环形，不同起点可能导致不同结果，需要尝试所有起点
时间复杂度优化
- 朴素方法：对于每个起点O(n)寻找，总O(n²)，会超时
- 优化方法：使用**倍增法（Binary Lifting）**预处理每个位置开始跳转的信息
- 预处理：对于每个位置i，计算从i开始取一段后下一个起点的位置
- 倍增表：f[i][k]表示从i开始取2^k段后到达的位置
- 查询：对于每个起点，用倍增快速计算最多能取多少段
具体步骤
- 数据准备：复制数组为2n长度
- 滑动窗口预处理：
- 对于每个位置i，找到以i为起点的最短合法段的结束位置
- 记录next[i] = 结束位置 + 1（下一段的起点）
- 构建倍增表：
- f[i][0] = next[i]（跳1段）
- f[i][k] = f[f[i][k-1]][k-1]（跳2^k段）
- 枚举起点计算：
- 对每个起点i，用倍增法计算最多能跳多少段
- 保持结束位置不超过i+n（环形限制）
- 取最大值：所有起点结果的最大值
代码实现
#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintMAXN=2e5+5;// 2倍长度constintLOG=20;// 2^20 > 1e6intn,m;intt[MAXN];// 宝石数组（已复制为2倍长度）intcnt[MAXN];// 计数数组，记录当前窗口每种宝石数量intnxt[MAXN];// nxt[i]: 从i开始取一段后下一个起点位置intf[MAXN][LOG];// 倍增表：f[i][k]表示从i开始取2^k段后到达的位置intmain(){// 读入数据cin>>n>>m;for(inti=0;i<n;i++){cin>>t[i];t[i+n]=t[i];// 复制一份，处理环形}// 滑动窗口预处理每个位置的下一个起点inttypes=0;// 当前窗口内宝石种类数intr=0;// 右指针// 初始化计数数组for(inti=1;i<=m;i++)cnt[i]=0;// 遍历每个位置作为左端点for(intl=0;l<2*n;l++){// 扩展右指针，直到窗口包含所有m种宝石while(r<2*n&&types<m){cnt[t[r]]++;if(cnt[t[r]]==1)types++;r++;}// 如果找到了包含所有宝石的窗口，记录下一个起点if(types==m){nxt[l]=r;// 结束位置+1就是下一段起点}else{nxt[l]=2*n;// 标记为无效位置}// 移动左指针前，减少计数cnt[t[l]]--;if(cnt[t[l]]==0)types--;}// 构建倍增表// 初始化：跳2^0=1段for(inti=0;i<2*n;i++){f[i][0]=nxt[i];}// 计算2^k段for(intk=1;k<LOG;k++){for(inti=0;i<2*n;i++){if(f[i][k-1]<2*n){f[i][k]=f[f[i][k-1]][k-1];}else{f[i][k]=2*n;// 超出范围}}}// 枚举每个起点，计算最多段数intans=0;for(intstart=0;start<n;start++){intpos=start;// 当前位置intseg=0;// 段数// 从大到小尝试跳转for(intk=LOG-1;k>=0;k--){if(f[pos][k]<=start+n){// 跳2^k段后不超过环形范围seg+=(1<<k);// 增加段数pos=f[pos][k];// 更新位置}}ans=max(ans,seg);}cout<<ans<<endl;return0;}功能分析
1. 数据预处理部分
// 复制数组处理环形for(inti=0;i<n;i++){t[i+n]=t[i];}- 目的：将环形问题转化为线性问题
- 原理：在长度为2n的数组上，任何长度为n的窗口都对应原环形数组的一个起始位置
2. 滑动窗口预处理
while(r<2*n&&types<m){cnt[t[r]]++;if(cnt[t[r]]==1)types++;r++;}- 功能：对于每个左端点l，找到最短的包含所有m种宝石的右端点
- 变量说明：
types：当前窗口内不同宝石的种类数cnt[]：记录每种宝石的出现次数nxt[l]：从l开始取一段后，下一段的起始位置
3. 倍增表构建
for(intk=1;k<LOG;k++){for(inti=0;i<2*n;i++){if(f[i][k-1]<2*n){f[i][k]=f[f[i][k-1]][k-1];}}}- 原理：
f[i][k] = f[f[i][k-1]][k-1]表示从i跳2k段等价于先跳2(k-1)段，再跳2^(k-1)段 - LOG选择：2^20 ≈ 1e6 > 2×1e5，足够覆盖所有可能跳转
4. 枚举起点计算
for(intk=LOG-1;k>=0;k--){if(f[pos][k]<=start+n){seg+=(1<<k);pos=f[pos][k];}}- 贪心策略：从高位向低位尝试跳转
- 约束条件：
f[pos][k] <= start + n确保跳转后不超过环形范围 - 时间复杂度：每个起点O(log n)，总O(n log n)
5. 算法复杂度
- 时间复杂度：O(n log n)
- 滑动窗口预处理：O(n)（每个元素进出各一次）
- 倍增表构建：O(n log n)
- 枚举起点计算：O(n log n)
- 空间复杂度：O(n log n)（主要存储倍增表）
6. 关键点总结
- 环形处理技巧：数组复制是处理环形问题的常用方法
- 滑动窗口优化：双指针法在线性时间内找到所有最短合法段
- 倍增法应用：将多次跳转压缩为对数级别查询
- 贪心正确性：每次取最短段能最大化段数，这是本题的关键性质
7. 示例解析
以样例1为例：
n=6, m=2 宝石序列: 1 2 1 2 1 2- 最短合法段长度均为2（包含1和2）
- 可以划分为3段：[1,2]、[1,2]、[1,2]
- 代码会找到所有起点中的最优解
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