【时变频率估计】基于扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）对窄带信号的时变频率估计，评估两种滤波算法在动态信号跟踪任务中的性能附Matlab代码

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🔥内容介绍

在当今科技飞速发展的时代，信号处理作为众多领域的关键支撑技术，发挥着举足轻重的作用。而时变频率估计，更是信号处理领域中一块难啃的 “硬骨头”，其重要性不言而喻，广泛应用于通信、雷达、生物医学等多个关键领域。

在无线通信的广袤天地里，精确的载波频率跟踪宛如通信系统的 “心脏起搏器”，对实现相干解调和高效数据传输起着决定性作用。想象一下，在 5G 甚至未来 6G 通信中，海量的数据如同汹涌的潮水般在基站与终端之间传输。如果载波频率出现哪怕极其微小的偏差，就像船只在茫茫大海中偏离了既定航线，数据传输的准确性和效率将大打折扣，导致信号失真、误码率飙升，用户体验也会一落千丈。

雷达和声纳系统，则像是人类的 “千里眼” 和 “顺风耳”，通过对目标的多普勒频移进行精准分析，从而获取目标的速度和运动状态等关键信息。以军事雷达为例，在追踪高速飞行的战斗机时，目标的速度和轨迹瞬息万变，时变频率的准确估计是实现目标跟踪和识别的基石。一旦频率估计出现误差，就可能导致目标丢失，后果不堪设想。

在生物医学信号处理领域，心电图（ECG）和脑电图（EEG）信号是窥探人体生理奥秘的重要窗口。这些信号的频率成分犹如人体健康的 “晴雨表”，会随着生理状态的变化而改变。比如，当人体处于紧张、兴奋或患病状态时，心电图和脑电图的频率特征会发生显著变化。对这些时变频率的精确分析，就如同医生手中的 “超级诊断工具”，有助于疾病的早期诊断和状态监测，为挽救生命争取宝贵的时间。

传统的频率估计方法，如离散傅里叶变换（DFT）及其快速实现（FFT），虽然在处理平稳信号时表现尚可，能够提供信号在一个固定时间段内的平均频率信息，但面对时变频率信号时，却显得力不从心。这就好比用一把固定刻度的尺子去测量不断伸缩的橡皮筋，显然无法准确反映其真实长度。

为了应对时变频率信号的挑战，时频分析方法应运而生，如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等。然而，STFT 就像一个陷入两难困境的 “选择困难症患者”，在时间和频率分辨率之间存在着固有的矛盾。提高时间分辨率，频率分辨率就会降低；反之，提高频率分辨率，时间分辨率又会大打折扣。这一局限性使得 STFT 在面对快速变化的频率跟踪任务时，常常显得捉襟见肘。

小波变换虽然在一定程度上缓解了这一矛盾，但其在选择合适的小波基函数和分解层数时，却如同在迷雾中寻找正确的方向，充满了挑战。不同的小波基函数和分解层数对信号分析的结果有着天壤之别，一旦选择不当，分析结果就可能出现偏差，导致对信号的误判。

正是在这样的背景下，基于状态空间模型的递归滤波方法，为我们驱散了时变频率估计道路上的重重迷雾，带来了新的曙光。而扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF），作为其中的佼佼者，备受关注。它们能否成功突破传统方法的局限，在时变频率估计领域大放异彩？让我们拭目以待，一同深入探究它们的奥秘。

卡尔曼家族的 “双子星”：EKF 与 UKF

（一）EKF：线性化的 “破局者”

扩展卡尔曼滤波（EKF），可谓是卡尔曼滤波家族中的一位 “勇敢破局者”，它巧妙地运用了泰勒展开式这一数学利器，成功地将非线性问题转化为线性问题，从而能够运用经典卡尔曼滤波的框架来进行状态估计，为解决非线性系统的估计问题开辟了一条新道路。

在实际应用中，许多系统的状态转移和观测模型往往呈现出复杂的非线性特性，难以直接使用经典卡尔曼滤波进行处理。而 EKF 的出现，犹如一道曙光，照亮了非线性系统估计的黑暗角落。以常见的机器人运动模型为例，机器人在空间中的运动轨迹通常受到多种因素的影响，如自身的动力学特性、环境的摩擦力、障碍物的干扰等，这些因素使得机器人的运动状态转移方程呈现出高度的非线性。假设机器人的状态向量包括位置（x, y）和速度（vx, vy），其状态转移函数可能包含三角函数、指数函数等非线性项，如 x (k+1) = x (k) + vx (k) * dt * cos (theta (k)) + w1 (k)，y (k+1) = y (k) + vy (k) * dt * sin (theta (k)) + w2 (k)，其中 theta (k) 是机器人的运动方向，w1 (k) 和 w2 (k) 是过程噪声。

面对这样的非线性系统，EKF 通过在当前估计点附近对非线性函数进行一阶泰勒展开，将其近似为线性函数。具体来说，对于状态转移函数 f (x) 和观测函数 h (x)，EKF 计算它们在当前估计值处的雅可比矩阵，用雅可比矩阵来代替原函数中的非线性部分，从而实现线性化。以状态转移函数 f (x) 为例，其雅可比矩阵 F_j 描述了函数 f (x) 在当前估计值处的局部变化率，即当状态变量 x 发生微小变化时，函数 f (x) 的变化情况。通过这种线性化处理，EKF 将非线性系统近似为线性系统，进而可以应用标准卡尔曼滤波的预测和更新框架进行状态估计。

EKF 的这种线性化方法在弱非线性系统中表现出了显著的优势，能够有效地处理系统中的噪声，提供较为准确的状态估计。然而，它也存在着一些局限性。由于 EKF 是基于一阶泰勒展开进行线性化，忽略了泰勒级数展开的高阶项，当系统的非线性程度较强时，这种近似会引入较大的线性化误差，导致估计精度下降，甚至可能使滤波发散，无法得到可靠的估计结果。此外，EKF 在线性化处理时需要计算雅可比矩阵，对于复杂的非线性函数，雅可比矩阵的计算过程往往非常繁琐，增加了算法的实现难度和计算复杂度。

（二）UKF：无迹变换的 “革新者”

无迹卡尔曼滤波（UKF），则是卡尔曼滤波领域的一位 “革新者”，它另辟蹊径，采用了一种全新的无迹变换（UT）技术，为非线性系统的状态估计带来了更精确、更高效的解决方案。

UKF 的核心思想基于这样一个理念：与其对非线性函数进行复杂的线性化近似，不如直接对状态变量的概率分布进行近似。它通过精心选择一组被称为 Sigma 点的确定性采样点，这些 Sigma 点能够充分代表状态变量的均值和协方差，也就是状态的不确定性。然后，让这些 Sigma 点直接通过非线性系统进行传播，根据这些点在非线性系统中的变换结果，来准确地估计系统状态的均值和协方差。

具体而言，在 Sigma 点的生成阶段，UKF 首先根据当前的状态估计 x 和估计误差协方差 P，通过特定的公式生成一组 Sigma 点。例如，对于一个 n 维的状态向量，通常会生成 2n + 1 个 Sigma 点。这些 Sigma 点围绕着当前状态估计值对称分布，并且涵盖了状态变量的不确定性范围。其中，一个 Sigma 点就是当前的状态估计值 x，其余 2n 个 Sigma 点则通过对协方差矩阵 P 进行某种变换得到，它们在各个维度上的偏移量与协方差矩阵的平方根相关，从而能够反映状态变量在不同方向上的不确定性程度。

在时间更新（预测）步骤中，将生成的 Sigma 点逐一通过非线性状态转移函数 f (x) 进行传播，得到一组经过状态转移后的 Sigma 点。然后，根据这些转移后的 Sigma 点，利用预先计算好的权重，计算预测状态的均值和协方差。预测状态均值的计算是通过对所有转移后的 Sigma 点进行加权求和得到，而预测协方差的计算则涉及到对每个转移后的 Sigma 点与预测均值的偏差进行加权平方和运算，同时还要考虑过程噪声的影响。

在测量更新（校正）步骤中，同样将预测的 Sigma 点通过非线性测量函数 h (x) 进行传播，得到预测测量值。然后，根据预测测量值和实际测量值，计算测量协方差和状态 - 测量交叉协方差。通过这些协方差，计算卡尔曼增益，进而更新状态估计和误差协方差。更新状态估计时，利用卡尔曼增益对预测状态进行修正，使其更接近实际状态；更新误差协方差时，考虑了测量噪声和预测协方差的影响，以更准确地反映状态估计的不确定性。

以卫星导航系统中的轨道估计为例，卫星在太空中的运动受到地球引力、太阳辐射压力、月球引力等多种复杂因素的影响，其轨道运动方程呈现出高度的非线性。UKF 通过无迹变换，能够更准确地处理这种非线性问题。它所选择的 Sigma 点能够全面地捕捉卫星轨道状态的不确定性，在经过非线性的轨道动力学模型传播后，依然能够精确地估计卫星的轨道位置和速度。与 EKF 相比，UKF 避免了线性化带来的误差，在处理强非线性系统时表现出更高的精度和更好的稳定性，能够为卫星导航系统提供更可靠的轨道估计，确保卫星通信、定位等功能的正常运行。

正是由于 UKF 摒弃了对非线性函数进行线性化的传统做法，直接对概率分布进行近似，所以它在处理各种非线性系统时都具有显著的优势，尤其是在强非线性系统中，能够提供比 EKF 更精确的估计结果。然而，UKF 也并非完美无缺，它的计算过程相对复杂，需要计算更多的参数和进行更多的矩阵运算，这在一定程度上增加了计算量和计算时间，对计算资源的要求也更高。

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

function [pi_ukf, pred_omega] = compute_pi_ukf_aux(signal, omega, initial_omega, initial_sigma, step_length, t_transient, r, q)

VERBOSE = true;

%% PI analysis

t_steadystate = step_length-t_transient;

%% Track

x_pred_0 = [0, 0, initial_omega];

pred_vec = ukf( ...

signal, ...%signal

x_pred_0, ...%x_pred_0

initial_sigma, ... %initialization of P is done with the a-priori known sigma of initialization noise

r, ... %r,

q ... %q

);

% Take only the state we are interested in

pred_omega = pred_vec(3,:);

%% Compute PI

[mse_transient, mse_steadystate] = compute_pi(pred_omega, omega, step_length, t_transient, true);

pi_ukf = [mse_transient, mse_steadystate];

%% Output values

if VERBOSE

disp('************ UKF *************');

fprintf('Sigma: %e \t( r=%e, q=%e)\n',r/q,r,q); % Not only dependent on sigma?

fprintf('Transient: %e, SS: %e\n',mse_transient,mse_steadystate);

end

🔗 参考文献

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🌟 各类智能优化算法改进及应用

生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、风电场布局、时隙分配优化、最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、工厂-中心-需求点三级选址问题、应急生活物质配送中心选址、基站选址、道路灯柱布置、枢纽节点部署、输电线路台风监测装置、集装箱调度、机组优化、投资优化组合、云服务器组合优化、天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、动态VRP问题、双层车辆路径规划（2E-VRP）、充电车辆路径规划（EVRP）、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、订单拆分调度问题、公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位、冷链、时间窗、多车场等、选址优化、港口岸桥调度优化、交通阻抗、重分配、停机位分配、机场航班调度、通信上传下载分配优化

🌟 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌟图像处理方面

图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知

🌟 路径规划方面

旅行商问题（TSP）、车辆路径问题（VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等）、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、充电车辆路径规划（EVRP）、双层车辆路径规划（2E-VRP）、油电混合车辆路径规划、船舶航迹规划、全路径规划规划、仓储巡逻、公交车时间调度、水库调度优化、多式联运优化

🌟 无人机应用方面

无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划、

🌟 通信方面

传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配

🌟 信号处理方面

信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理+传输+分析+去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测

🌟电力系统方面

微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电、电/冷/热负荷预测、电力设备故障诊断、电池管理系统（BMS）SOC/SOH估算（粒子滤波/卡尔曼滤波）、多目标优化在电力系统调度中的应用、光伏MPPT控制算法改进（扰动观察法/电导增量法）、电动汽车充放电优化、微电网日前日内优化、储能优化、家庭用电优化、供应链优化\智能电网分布式能源经济优化调度，虚拟电厂，能源消纳，风光出力，控制策略，多目标优化，博弈能源调度，鲁棒优化

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