psd 网站,唯美wordpress简约主题,哪些网站可以做网站,注册域名成功后怎样建设网站前言:堆算是一种相对简单的数据结构#xff0c; 本篇文章将详细的讲解堆中的知识点#xff0c; 包括那些我们第一次学习堆的时候容易忽略的内容#xff0c; 本篇文章会作为重点详细提到。 本篇内容适合已经学完C语言数组和函数部分的友友们观看。 目录 什么是堆 建堆算法…         前言:堆算是一种相对简单的数据结构 本篇文章将详细的讲解堆中的知识点 包括那些我们第一次学习堆的时候容易忽略的内容 本篇文章会作为重点详细提到。          本篇内容适合已经学完C语言数组和函数部分的友友们观看。 目录 什么是堆 建堆算法 向上调整算法 算法原理 如何计算parent 代码 向下调整算法 算法原理 寻找较小孩子  代码 建堆 向下调整算法建堆 建堆过程 建堆的时间复杂度 向上调整算法建堆 建堆过程 建堆的时间复杂度 什么是堆 首先来看什么是堆 堆在逻辑结构上是一种完全二叉树。堆的物理结构是数组。堆分为大根堆和小根堆。大根堆就是父亲节点大于左右孩子 小根堆就是父亲节点小于左右父亲。 这里分析一个问题堆相较于顺序表存不存在大量的空间浪费? 普通的二叉树如果使用数组来存储会出现大量的空间浪费。 但是堆是一颗完全二叉树 完全二叉树就是除了叶子结点 其他层上面的分支节点全都是满的。 而且叶子结点也全部是连续的 这样的结构如果使用数组来存储就不会存在大量浪费的情况。  逻辑结构的堆: 物理结构的堆: 建堆算法 建堆有两个算法: 向上调整算法向下调整算法 向上调整算法 向上调整算法是从堆底向上调整。 向上调整算法的使用前提是要向上调整的节点的前面的数组已经是一个堆。 算法原理 示例 如图为一个小堆         1.现在插入一个0。那么这个0先插入在最后的位置。          然后向上调整算法的过程就是2.以刚刚插入的位置为child节点。 他的父亲为parent节点。 进行比较。         3.比较child比parent小注意 现在是排的小堆 小堆的父亲比左右孩子小 那么就要向上调整一下 让父亲变成0 child变成3。这里如果不小的话 就说明此时就是一个小堆 那么就结束调整。结束算法         4.然后让child变成指向parent的节点。 parent指向当前节点的父亲节点。         5. 然后回到2 重新循环.  直到遇到child不小于parent或者child已经是堆顶元素。如图 此时child指向堆顶。 没有父亲节点 也就不需要再进行向上调整。  时间复杂度 O(lgN)。 因为每次调整一下最坏的情况就是从堆底调整到堆顶。 对于一颗满二叉树没写错 就是满二叉树来说 有2 * h - 1  N;   一棵满二叉树的高度是h lg(N 1)。所以它向上调整一次最坏的情况是调整lgN次1被忽略。那么对于完全二叉树来说 比满二叉树还要少许多节点 层数一样。 那么它的最坏调整次数也是lgN。所以时间复杂度就是lgN。  如何计算parent 假设有一个元素个数为6的小堆。   此时元素个数为6。 堆的物理结构就是: 从逻辑结构中我们可以看到对于3这个位置来说 它的左右两个孩子的下标是5和6。 而5 - 1 / 2 2 6 - 1 /   2 2 对于图中的5节点来说5的下标是1, 它的左右孩子的下标是3和4。 而 (3 - 1) / 2 1 4 - 1  / 2 1 这里就有一个结论 parent (child - 1) / 2; 代码 //向上调正算法 void AdjustUp(int* arr, int n) //arr是一个等待调整的数组 n是这个数组的大小。 {//要使用向上调整算法 说明此时arr的前n - 1个元素是一个堆。 第n个元素是等待向上调整的元素。int child n - 1; //第n个元素的下标是n - 1。 int parent (child - 1) / 2; //算出parent的位置while (child 0) //如果child到了堆顶 那么就没有父亲 也就不用比了。{if (arr[child] arr[parent]) {swap(arr[child], arr[parent]);child parent;parent (parent - 1) / 2;}else //如果孩子节点比父亲节点还大 那么也不用比了 此时就是个堆{break;}} }向下调整算法 算法原理 向下调整算法要求左右两棵子树都是堆 然后以根节点为基准向下进行调整。  示例: 如图是一个数组 这个数组如果转化为堆的逻辑结构就是如图:         观察逻辑结构 我们很容易可以观察到9的左右两边都是小堆。符合向下调整算法的要求(如果左右两边有一边不是堆结构 那么就不可以使用向下调整算法)向下调整算法的流程为:         1.  定义parent指向9的位置。 child指向左右边小的那个节点。 因为这里1比5小 所以指向1。           2.  然后比较child和parent。 如果child小于parent。 那么就要交换位置 否则退出循环 算法结束。         3.  交换数据之后移动指针 parent指向child指向的节点。 child指向当前节点的左右孩子中较小的那个。         4.  然后重复2的操作。 一直到child大于parent或者查出数组的范围。退出循环 算法结束. 时间复杂度 O(lgN)        时间复杂度的计算和向上调整算法一样。 对于一个堆来说最坏的情况就是从堆顶向下调整到堆底那么调整次数就是树的高度次。 而树的高度的数量级是lgN级别。 所以时间复杂度就是OlgN)。 寻找较小孩子  可以利用假设法寻找左右孩子中较小的那一个。        对于一个父亲节点 它的左孩子的下标是child parent * 2 1; 右孩子就是child parent * 2 2; 假设过程如下: 先假设左孩子是较小的那个孩子。     然后 就比较左孩子和右孩子     如果右孩子比左孩子更小 那么就让右孩子变成较小的那个孩子。 代码 //向下调整算法 void AdjustDown(int* arr, int n, int parent) //arr是要调整的数组 n是要建堆数组的大小。 parent下调的基准点。 {int child parent * 2 1; //先假设孩子节点是父亲节点的左边while (child n) {//如果右孩子更小 那么就让child变成父亲节点的右边if (child 1 n arr[child 1] arr[child]) child; if (arr[child] arr[parent]) {swap(arr[child], arr[parent]);parent child;child child * 2 1;}else {break;}} }建堆 向下调整算法建堆 建堆过程 向下调整建堆需要保证那个要调整的节点的左右子树都是堆。 所以我们进行向下调整建堆的时候要从堆底向堆顶建堆。 具体过程如下: 假设如图为要调整成为堆的数组的逻辑结构: 我们首先要从堆底的第一个非叶子节点开始向下调整就像下图的最右边的那个红框框。 从这个红框框中的非叶子节点开始向下调整。 从右向左 先将这一层的非也节点全部调整为堆。  此时 这一层往下都是堆结构 那么我们就可以向上一层进行调堆。 当我们调好红框框中的堆后 就可以调绿框框的堆。  然后绿框框的堆调好之后我们就可以调以堆顶为基准的堆 那么这整个数组就建堆完成。  建堆的时间复杂度 个人认为堆里面最难的一部分内容 就是建堆的时间复杂度。 可能有的友友会说 建堆的时间复杂度是ON * lgN) 。 博主一开始也以为是ON * lg N 但是其实只有向上调整建堆是ON * lgN。 而向下调整建堆的时间复杂度其实是ON。 为什么 这里其实用到了高中的错位相减法求时间复杂度。 假设这是一个h层的树结构。 那么当我们建堆的时候。  从倒数第二层开始向下调整。假设一共h层。证明如下 第h - 1层有2 ^ (h - 2) 个节点 每一个节点最多向下调整一次。 一共调整2 ^ (h - 2) * 1次。倒h - 2层有2 ^ (h - 3) 个节点 每一个节点最多向下调整两次。 一共调整2 ^ (h - 3) * 2次。倒h - 3层有2 ^ (h - 4) 个节点 每一个节点最多向下调整三次。 一共调整2 ^ (h - 4) * 3次。………………………………第三层有2 ^ 2个节点 每一个节点最多向下调整h - 3次。一共调整 2 ^ 2 * (h - 3)次。第二层有2 ^ 1个节点 每一个节点最多向下调整h - 2次。 一共调整2 ^ 1 * (h - 2)次。第一层有2 ^ 0个节点 每一个节点最多向下调整h - 1次。 一共调整2 ^ 0 * (h - 1)次。 这些次数加起来就是一个等差乘以等比类型的数列求和。         T(h) 2 ^ 0 * (h - 1)  2 ^ 1 * (h - 2)  2 ^ 2 * (h - 3) …… 2 ^ (h - 4) * 3  2 ^ (h - 3) * 2  2 ^ (h - 2) * 1    2 * T(h)              2 ^ 1 * (h - 1)  2 ^ 2 * (h - 2) …… 2 ^ (h - 4) * 4  2 ^ (h - 3) * 3  2 ^ (h - 2) * 2 2 ^ (h - 1) * 1;         所以 T(h) - (h - 1) 2 2 ^ 2 2 ^ 3 …… 2 ^ (h - 2) 2 ^ (h - 1)                             2 ^ h - h; 由完全二叉树的规则: N 2 ^ h - 1 将这个式子带入上面T(h)就能得到T(N) N 1 - lgN。 由大O的渐进表示法可知 时间复杂度为ON。 代码 void CreatHeap(int* arr, int sz) {for (int i (sz - 1 - 1) / 2; i 0; i--) //(sz - 1) / 2是第一个非叶节点。{//向下调整建堆AdjustDown(arr, sz, i); //以i为基准 最大下标为sz;} }向上调整算法建堆 建堆过程 向上调整建堆需要前面的数组为堆结构。 所以和向下调整建堆相反它是从堆顶开始建堆。建堆过程需要从下标为0开始向后遍历进行向上调整建堆。 建堆过程如下 如图为一树结构。  对于这个结构。 我们要先从第一个堆顶位置开始向下调。 然后调第二个元素 再调第三个元素 第四个元素……第n个元素。 依次类推。 建堆的时间复杂度 我们同样使用前面的方法 将每一层的节点的调整次数列出来。 如下: 第一层2 ^ 0节点 调整0次第二层2 ^ 1节点 每个节点调整1次。一共调整2 ^ 1 * 1次。第三层2 ^ 2节点 每个节点调整2次。一共调整2 ^ 2 * 2次。第四层2 ^ 3节点 每个节点调整3次。 一共调整2 ^ 3 * 3次。………………………………第h - 2层: 2 ^ (h - 3)节点 每个节点调整h - 3次。 一共调整2 ^ (h - 3) * (h - 3)次。第h - 1层2 ^ (h - 2)节点 每个节点调整h -2次。 一共调整2 ^ (h - 2) * (h - 2)次。第h 层 2 ^ (h - 1)节点 每个节点调整h - 1次。 一共调整2 ^ (h - 1) * (h - 1)次。        利用N 2 ^h - 1代入可得最后一层节点个数大约为N / 2。这其实也是满二叉树的性质。        所以我们只需要看第h层调整需要的节点个数, 因为对于一棵完全二叉树来说 最后一层的节点个数相当于其所有节点个数的一半。 那么每个节点向上调整的次数都是lgN。 所以对于向上调整算法建堆的时间复杂度就是O(N * lgN)。 代码: void CreatHeap(int* arr, int sz) {for (int i 0; i sz; i) {//向上调整建堆AdjustUp(arr, i); //以i为调堆最后一个元素} }