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diannao/2026/1/19 22:00:37/文章来源:

慈溪做网站哪家好,免费发帖推广的平台,如何使用框架来建设网站,网站模板使用文章目录 1 复习一元函数复合函数求导2 一元函数与多元函数复合的情形3 多元函数与多元函数复合的情形4 其他情形5 抽象复合函数求导6 全微分不变性结语 1 复习一元函数复合函数求导 y f ( u ) , u ϕ ( x ) ⇒ f [ ϕ ( x ) ] d y d x d y d u ⋅ d u d x f ′ ( u ) ⋅ ϕ… 文章目录 1 复习一元函数复合函数求导2 一元函数与多元函数复合的情形3 多元函数与多元函数复合的情形4 其他情形5 抽象复合函数求导6 全微分不变性结语 1 复习一元函数复合函数求导 y f ( u ) , u ϕ ( x ) ⇒ f [ ϕ ( x ) ] d y d x d y d u ⋅ d u d x f ′ ( u ) ⋅ ϕ ′ ( x ) f ′ [ ϕ ( x ) ] ⋅ ϕ ′ ( x ) yf(u),u\phi(x) \Rightarrow f[\phi(x)]\\ \frac{dy}{dx}\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}f{}(u)\cdot \phi{}(x)f{}[\phi(x)]\cdot\phi{}(x) yf(u),uϕ(x)⇒f[ϕ(x)]dxdydudy⋅dxduf′(u)⋅ϕ′(x)f′[ϕ(x)]⋅ϕ′(x) 注复合关系图 d y d u ⋅ d u d x d y d x x → u → y \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\frac{dy}{dx}\hskip1em x\rightarrow u\rightarrow y dudy⋅dxdudxdyx→u→y 2 一元函数与多元函数复合的情形定理1 如果函数 u ϕ ( t ) 及 v ψ ( t ) u\phi(t)及v\psi(t) uϕ(t)及vψ(t)都在点t处可导函数 z f ( u , v ) zf(u,v) zf(u,v)在对应点 ( u , v ) (u,v) (u,v)具有连续偏导数那么复合函数 z f [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] 在点 t zf[\phi(t),\psi(t)]在点t zf[ϕ(t),ψ(t)]在点t可导且有 d z d t ∂ z ∂ u d u d t ∂ z ∂ v d v d t \frac{dz}{dt}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} dtdz∂u∂zdtdu∂v∂zdtdv 设 t 获得增量 Δ t , 此时 u ϕ ( t ) , v ψ ( t ) 获得增量 Δ u , Δ v 由此 z f ( u , v ) 相应获得增量 Δ z 函数 z f ( u , v ) 在点 ( u , v ) 具有连续偏导 Δ z ∂ z ∂ u Δ u ∂ v ∂ v Δ v ϵ 1 Δ u ϵ 2 Δ v 当 Δ u → 0 , Δ v → 0 时 ϵ 1 → 0 , ϵ 2 → 0 上式两边各除以 Δ t 得 Δ z Δ t ∂ z ∂ u Δ u Δ t ∂ z ∂ v Δ v Δ t ϵ 1 Δ u Δ t ϵ 2 Δ v Δ t ∵ 当 Δ → 0 , Δ u → 0 , Δ v → 0 , Δ u Δ t → d u d t , Δ v Δ t d v d t ∴ lim ⁡ Δ t → 0 Δ z Δ t ∂ z ∂ u d u d t ∂ z ∂ v d v d t 设t获得增量\Delta t,此时u\phi(t),v\psi(t)获得增量\Delta u,\Delta v\\ 由此zf(u,v)相应获得增量\Delta z\\ 函数zf(u,v)在点(u,v)具有连续偏导\\ \Delta z\frac{\partial z}{\partial u}\Delta u\frac{\partial v}{\partial v}\Delta v \epsilon_1\Delta u\epsilon_2\Delta v\\ 当\Delta u\to 0,\Delta v\to 0时\epsilon_1\to0,\epsilon_2\to0\\ 上式两边各除以\Delta t得\\ \frac{\Delta z}{\Delta t}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\Delta u}{\Delta t}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\Delta v}{\Delta t}\epsilon_1\frac{\Delta u}{\Delta t}\epsilon_2\frac{\Delta v}{\Delta t}\\ \because 当\Delta \to0,\Delta u\to0,\Delta v\to0,\frac{\Delta u}{\Delta t}\to\frac{du}{dt},\frac{\Delta v}{\Delta t}\frac{dv}{dt}\\ \therefore \lim\limits_{\Delta t\to0}{\frac{\Delta z}{\Delta t}}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} 设t获得增量Δt,此时uϕ(t),vψ(t)获得增量Δu,Δv由此zf(u,v)相应获得增量Δz函数zf(u,v)在点(u,v)具有连续偏导Δz∂u∂zΔu∂v∂vΔvϵ1Δuϵ2Δv当Δu→0,Δv→0时ϵ1→0,ϵ2→0上式两边各除以Δt得ΔtΔz∂u∂zΔtΔu∂v∂zΔtΔvϵ1ΔtΔuϵ2ΔtΔv∵当Δ→0,Δu→0,Δv→0,ΔtΔu→dtdu,ΔtΔvdtdv∴Δt→0limΔtΔz∂u∂zdtdu∂v∂zdtdv 注 d z d t 称为全导数 \frac{dz}{dt}称为全导数 dtdz称为全导数复合关系图例1 z u 2 e v , u sin ⁡ t , v e t 求 d z d t zu^2e^v,u\sin t,ve^t求\frac{dz}{dt} zu2ev,usint,vet求dtdz 解 d z d t ∂ z ∂ u d u d t ∂ z ∂ v d v d t 2 sin ⁡ t ⋅ e e t cos ⁡ t ( sin ⁡ t ) 2 ⋅ e e t ⋅ e t sin ⁡ t e e t ( 2 cos ⁡ t sin ⁡ t e t ) 解\\ \frac{dz}{dt}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}\\ 2\sin t\cdot e^{e^t}\cos t(\sin t)^2\cdot e^{e^t}\cdot e^t\\ \sin t e^{e^t}(2\cos t\sin t e^{t}) 解dtdz∂u∂zdtdu∂v∂zdtdv2sint⋅eetcost(sint)2⋅eet⋅etsinteet(2costsintet) 3 多元函数与多元函数复合的情形定理2 如果函数 u ϕ ( x , y ) 及 v ψ ( x , y ) 都在点 ( x , y ) u\phi(x,y)及v\psi(x,y)都在点(x,y) uϕ(x,y)及vψ(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数函数 z f ( u , v ) 在对应点 ( u , v ) zf(u,v)在对应点(u,v) zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数那么复合函数 z f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( x , y ) ] 在点 ( x , y ) zf[\phi(x,y),\psi(x,y)]在点(x,y) zf[ϕ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)的连个偏导数都存在且有 ∂ z ∂ x ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x ∂ z ∂ y ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} \\ ∂x∂z∂u∂z∂x∂u∂v∂z∂x∂v∂y∂z∂u∂z∂y∂u∂v∂z∂y∂v 注复合关系图例3 z e u sin ⁡ v , u x y , v x y , 求 ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y ze^u\sin v,uxy,vxy,求\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y} zeusinv,uxy,vxy,求∂x∂z,∂y∂z 解 ∂ z ∂ x ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x e x y sin ⁡ ( x y ) y e x y cos ⁡ ( x y ) ( 1 y ) 解\\ \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ e^{xy}\sin(xy)ye^{xy}\cos(xy)(1y)\\ 解∂x∂z∂u∂z∂x∂u∂v∂z∂x∂vexysin(xy)yexycos(xy)(1y) 4 其他情形定理3 如果函数 u ϕ ( x , y ) 在点 ( x , y ) u\phi(x,y)在点(x,y) uϕ(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数函数 v ψ ( y ) 在点 y v\psi(y)在点y vψ(y)在点y具有对点y可导函数 z f ( u , v ) 在对应点 ( u , v ) zf(u,v)在对应点(u,v) zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数那么复合函数 z f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( y ) ] 在点 ( x , y ) zf[\phi(x,y),\psi(y)]在点(x,y) zf[ϕ(x,y),ψ(y)]在点(x,y)的两个偏导数存在且有 ∂ z ∂ x ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x ∂ z ∂ y ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y ∂ z ∂ v d v d y \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{d v}{d y} \\ ∂x∂z∂u∂z∂x∂u∂y∂z∂u∂z∂y∂u∂v∂zdydv 注复合关系图推广复合函数的某些中间变量又是复合函数的自变量比如 z f ( u , x , y ) u ϕ ( x , y ) zf(u,x,y)u\phi(x,y) zf(u,x,y)uϕ(x,y) 令 v x , w y 则 ∂ v ∂ x 1 ∂ v ∂ y 0 ∂ w ∂ x 0 , ∂ w ∂ y 1 则 ∂ z ∂ x ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x ∂ f ∂ x ∂ z ∂ y ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y ∂ f ∂ y 令vx,wy则\\ \frac{\partial v}{\partial x}1\frac{\partial v}{\partial y}0\\ \frac{\partial w}{\partial x}0,\frac{\partial w}{\partial y}1 \\ 则 \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y} 令vx,wy则∂x∂v1∂y∂v0∂x∂w0,∂y∂w1则∂x∂z∂u∂f∂x∂u∂x∂f∂y∂z∂u∂f∂y∂u∂y∂f 例5 u f ( x , y , z ) e x 2 y 2 z 2 , z x 2 sin ⁡ y uf(x,y,z)e^{x^2y^2z^2},zx^2\sin y uf(x,y,z)ex2y2z2,zx2siny ∂ u ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ z ∂ z ∂ x e x 2 y 2 ( x 2 sin ⁡ y ) 2 2 x e x 2 y 2 ( x 2 sin ⁡ y ) 2 2 x 2 sin ⁡ y 2 x sin ⁡ y 2 x e x 2 y 2 x 4 sin ⁡ 2 y ( 1 2 x 2 sin ⁡ 2 y ) ∂ z ∂ y ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z ∂ z ∂ y 2 ( y x 4 sin ⁡ y cos ⁡ y ) e x 2 y 2 x 4 sin ⁡ 2 y \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\\ e^{x^2y^2(x^2\sin y)^2}2xe^{x^2y^2(x^2\sin y)^2}2x^2\sin y2x\sin y\\ 2xe^{x^2y^2x^4\sin^2y}(12x^2\sin^2y)\\ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}\\ 2(yx^4\sin y\cos y)e^{x^2y^2x^4\sin^2 y} ∂x∂u∂x∂f∂z∂f∂x∂zex2y2(x2siny)22xex2y2(x2siny)22x2siny2xsiny2xex2y2x4sin2y(12x2sin2y)∂y∂z∂y∂f∂z∂f∂y∂z2(yx4sinycosy)ex2y2x4sin2y 5 抽象复合函数求导为了写法和计算的f方便引入记号 f ( u , v ) : { f ′ u → f 1 ′ , f v ′ → f 2 ′ f ′ u ′ u → f 1 ′ ′ 1 , f u ′ ′ v → f 1 ′ ′ 2 f(u,v):\\ \begin{cases} f{}_u\rightarrow f^{}_1,f^{}_v\rightarrow f^{}_2\\ f{}_u{}_u\rightarrow f^{}_1{}_1,f^{}_u{}_v\rightarrow f^{}_1{}_2\\ \end{cases} f(u,v):{f′u→f1′,fv′→f2′f′u′u→f1′′1,fu′′v→f1′′2 例7 w f ( x y z , x y z ) , f 具有二阶连续偏导数求 ∂ w ∂ x , ∂ 2 w ∂ x ∂ z wf(xyz,xyz),f具有二阶连续偏导数求\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial z} wf(xyz,xyz),f具有二阶连续偏导数求∂x∂w,∂x∂z∂2w 解令 u x y z , v x y z ∂ w ∂ x ∂ w ∂ u ∂ u ∂ x ∂ w ∂ v ∂ v ∂ x f 1 ′ y z f ′ 2 ∂ 2 w ∂ x ∂ z ∂ f 1 ′ ∂ z y f 2 ′ y z ∂ f 2 ′ ∂ z ∂ f u ∂ z f u u x y f u v ∂ f v ∂ z f v u x y f v v ∂ 2 w ∂ x ∂ z f u u x y f u v y f v y z ( f v u x y f v v ) f u u y ( x z ) f u v x y 2 z f v v y f v 解\\ 令uxyz,vxyz\\ \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ f^{}_1yzf{}_2\\ \frac{\partial^2 w}{\partial x\partial z}\frac{\partial f^{}_1}{\partial z}yf^{}_2yz\frac{\partial f^{}_2}{\partial z}\\ \frac{\partial f_u}{\partial z}f_{uu}xyf_{uv}\\ \frac{\partial f_v}{\partial z}f_{vu}xyf_{vv}\\ \frac{\partial^2 w}{\partial x\partial z}f_{uu}xyf_{uv}yf_vyz(f_{vu}xyf_{vv})\\ f_{uu}y(xz)f_{uv}xy^2zf_{vv}yf_v 解令uxyz,vxyz∂x∂w∂u∂w∂x∂u∂v∂w∂x∂vf1′yzf′2∂x∂z∂2w∂z∂f1′yf2′yz∂z∂f2′∂z∂fufuuxyfuv∂z∂fvfvuxyfvv∂x∂z∂2wfuuxyfuvyfvyz(fvuxyfvv)fuuy(xz)fuvxy2zfvvyfv 6 全微分不变性设函数 z f ( u , v ) 具有连续偏导数 zf(u,v)具有连续偏导数 zf(u,v)具有连续偏导数则有全微分 d z ∂ z ∂ u d u ∂ z ∂ v d v dz\frac{\partial z}{\partial u}du\frac{\partial z}{\partial v}dv dz∂u∂zdu∂v∂zdv 如果 u ϕ ( x , y ) , v ψ ( x , y ) u\phi(x,y),v\psi(x,y) uϕ(x,y),vψ(x,y),且两个函数具有连续偏导数那么复合函数 z f [ ϕ ( x , y ) , ψ ( x , y ) ] zf[\phi(x,y),\psi(x,y)] zf[ϕ(x,y),ψ(x,y)]的全微分 d z ∂ z ∂ x d x ∂ z ∂ y d y dz\frac{\partial z}{\partial x}dx\frac{\partial z}{\partial y}dy dz∂x∂zdx∂y∂zdy d z ( ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x ) d x ( ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y ) d y ∂ z ∂ u ( ∂ u ∂ x d x ∂ u ∂ y d y ) ∂ z ∂ v ( ∂ u ∂ x d x ∂ v ∂ y d y ) ∂ z ∂ u d u ∂ z ∂ v d v dz(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x})dx(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y})dy\\ \frac{\partial z}{\partial u}(\frac{\partial u}{\partial x}dx\frac{\partial u}{\partial y}dy)\frac{\partial z}{\partial v}(\frac{\partial u}{\partial x}dx\frac{\partial v}{\partial y}dy) \frac{\partial z}{\partial u}du\frac{\partial z}{\partial v}dv dz(∂u∂z∂x∂u∂v∂z∂x∂v)dx(∂u∂z∂y∂u∂v∂z∂y∂v)dy∂u∂z(∂x∂udx∂y∂udy)∂v∂z(∂x∂udx∂y∂vdy)∂u∂zdu∂v∂zdv 由此可见无论u和v是自变量还中间变量函数 z f ( u , v ) zf(u,v) zf(u,v)的全微分形式都是一样的。这个性质叫做全微分形式不变性。例8 z f ( x 2 − y 2 , e x y ) , 求 d z zf(x^2-y^2,e^{xy}),求dz zf(x2−y2,exy),求dz 解令 u x 2 − y 2 , v e x y d z d f ( u , v ) f u d u f v d v f u d ( x 2 − y 2 ) f v ( e x y ) f u ( 2 x d x − 2 y d y ) f v ( y e x y d x x e x y d y ) ( 2 x f u y e x y f v ) d x ( x e x y v v − 2 y f u ) d y 解\\ 令ux^2-y^2,ve^{xy} dzdf(u,v)f_uduf_vdv\\ f_ud(x^2-y^2)f_v(e^{xy})\\ f_u(2xdx-2ydy)f_v(ye^{xy}dxxe^{xy}dy)\\ (2xf_uye^{xy}f_v)dx(xe^{xy}v_v-2yf_u)dy 解令ux2−y2,vexydzdf(u,v)fudufvdvfud(x2−y2)fv(exy)fu(2xdx−2ydy)fv(yexydxxexydy)(2xfuyexyfv)dx(xexyvv−2yfu)dy 结语 ❓QQ:806797785 ⭐️文档笔记地址https://gitee.com/gaogzhen/math 参考 [1]同济大学数学系.高等数学第七版下册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p78-84. [2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p67.

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