如何在各个购物网站之间做差价,凡科建站下载,白云做网站的公,中国网站建设20强三次样条插值 2023年11月5日 #analysis 文章目录 三次样条插值1. 样条函数1.1 截断多项式 2. 三次样条插值2.1 B样条为基底的三次样条插值函数2.1.1 第一种边界条件2.1.2 第二种边界条件2.1.3 第三种边界条件 2.2 三弯矩法求三次样条插值函数2.2.1 第一种边界条件2.2.2 第二种…三次样条插值 2023年11月5日 #analysis 文章目录 三次样条插值1. 样条函数1.1 截断多项式 2. 三次样条插值2.1 B样条为基底的三次样条插值函数2.1.1 第一种边界条件2.1.2 第二种边界条件2.1.3 第三种边界条件 2.2 三弯矩法求三次样条插值函数2.2.1 第一种边界条件2.2.2 第二种边界条件2.2.3 第三种边界条件 下链 1. 样条函数 样条函数即满足一定光滑性的分段多项式。 对区间 ( − ∞ , ∞ ) {(-\infty,\infty)} (−∞,∞) 的一个分割 Δ : − ∞ x 1 x 2 ⋯ x n ∞ \Delta : -\inftyx_1x_2 \cdots x_n \infty Δ:−∞x1​x2​⋯xn​∞ 若分段函数 s ( x ) {s(x)} s(x) 满足条件 在每个区间 ( − ∞ , x 1 ] , [ x j , x j 1 ] ( j 1 , ⋯ , n 1 ) {(-\infty,x_1],[x_j,x_{j1}](j1, \cdots ,n1)} (−∞,x1​],[xj​,xj1​](j1,⋯,n1) 和 [ x n , ∞ ) {[x_n,\infty)} [xn​,∞) 上 s ( x ) {s(x)} s(x) 是一个次数不超过 m {m} m 的实系数代数多项式。光滑性要求 s ( x ) {s(x)} s(x) 在整个区间 ( − ∞ , ∞ ) {(-\infty,\infty)} (−∞,∞) 上具有直至 m − 1 {m-1} m−1 阶的连续微商导数 则称 y s ( x ) {ys(x)} ys(x) 为对应于分割 Δ { \Delta } Δ 的 m {m} m 次样条函数 x 1 , x 2 , ⋯ , x n {x_1,x_2, \cdots ,x_n } x1​,x2​,⋯,xn​ 为样条节点。 以 x 1 , x 2 , ⋯ , x n {x_1,x_2, \cdots ,x_n } x1​,x2​,⋯,xn​ 为样条节点的 m {m} m 次样条函数的全体记为 s m ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) s_m(x_1,x_2, \cdots ,x_n) sm​(x1​,x2​,⋯,xn​) s ( x ) { p 0 ( x ) , x ≤ x 1 p 1 ( x ) , x 1 ≤ x ≤ x 2 ⋮ p j ( x ) , x j ≤ x ≤ x j 1 ⋮ p n ( x ) , x n ≤ x , p j ( x ) ∈ P m ( j 0 , 1 , ⋯ , n ) s(x) \begin{cases} p_0(x),x\le x_1\\ p_1(x),x_1\le x\le x_2\\ \vdots \\ p_j(x),x_j\le x\le x_{j1}\\ \vdots \\ p_n(x),x_n\le x \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\, p_j(x)\in P_m(j0,1,\cdots,n ) s(x)⎩ ⎨ ⎧​p0​(x)p1​(x)pj​(x)pn​(x)​,x≤x1​,x1​≤x≤x2​⋮,xj​≤x≤xj1​⋮,xn​≤x​,pj​(x)∈Pm​(j0,1,⋯,n) 对样条函数而言若令相邻两段函数的差 q j ( x ) p j ( x ) − p j − 1 ( x ) ∈ P m q_j(x)p_j(x)-p_{j-1}(x)\in P_m qj​(x)pj​(x)−pj−1​(x)∈Pm​ ⇒ q j ( i ) ( x ) p j ( i ) ( x ) − p j − 1 ( i ) ( x ) 0 , i 0 , 1 , ⋯ , m − 1 \Rightarrow q_j^{(i)}(x)p_j^{(i)}(x)-p_{j-1}^{(i)}(x)0 \,\,,\,\, i0,1,\cdots,m-1 ⇒qj(i)​(x)pj(i)​(x)−pj−1(i)​(x)0,i0,1,⋯,m−1 ⇒ q j ( x ) c j ( x − x j ) m , 也叫做光滑因子 \Rightarrow q_j(x)c_j(x-x_j)^m \,\,,\,\, \text{也叫做光滑因子} ⇒qj​(x)cj​(x−xj​)m,也叫做光滑因子 x j {x_j} xj​ 是 q j ( x ) {q_j(x)} qj​(x) 的 m {m} m 重根。所以如果函数是样条函数则相邻两段函数满足 p j ( x ) p j − 1 ( x ) c j ( x − x j ) m , j 0 , 1 , ⋯ , n p_j(x)p_{j-1}(x)c_j(x-x_j)^m \,\,,\,\, j0,1,\cdots,n pj​(x)pj−1​(x)cj​(x−xj​)m,j0,1,⋯,n 所以s(x)是m次样条的充要条件是 p 0 ( x ) a 0 a 1 x ⋯ a m x m p n ( x ) p 0 ( x ) ∑ j 1 n c j ( x − x j ) m \begin{align*} p_0(x)a_0a_1x \cdots a_mx^m \\ \\ p_n(x)p_0(x) \sum_{j1}^{ n}c_j(x-x_j)^m \end{align*} p0​(x)pn​(x)​a0​a1​x⋯am​xmp0​(x)j1∑n​cj​(x−xj​)m​ 1.1 截断多项式 为了方便表示分段信息引进截断多项式 ( x − a ) m { ( x − a ) m , x ≥ a 0 , x a (x-a)_^m \begin{cases} (x-a)^m ,x\ge a\\ \\ 0,xa \end{cases} (x−a)m​⎩ ⎨ ⎧​(x−a)m0​,x≥a,xa​ 显然 ( x − a ) m {(x-a)_^m} (x−a)m​ 是 ( − ∞ , ∞ ) {(-\infty,\infty)} (−∞,∞) 上 m − 1 {m-1} m−1 次连续可微函数的集合 C m − 1 ( − ∞ , ∞ ) { \mathbb C^{m-1}(-\infty,\infty)} Cm−1(−∞,∞) 类的分段 m {m} m 次多项式。 使用阶段多项式表示样条函数有任意 s ( x ) ∈ S m ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {s(x)\in S_m(x_1,x_2, \cdots ,x_n)} s(x)∈Sm​(x1​,x2​,⋯,xn​) c j ∈ R {{c_j\in \mathbb R} } cj​∈R 均可唯一地表示为 s ( x ) p m ( x ) ∑ j 1 n c j ( x − x j ) m , − ∞ x ∞ s(x) p_m(x) \sum_{j1}^{ n} c_j(x-x_j)_^m \,\,,\,\, -\inftyx\infty s(x)pm​(x)j1∑n​cj​(x−xj​)m​,−∞x∞ 样条函数的基底 S m span { 1 , x , ⋯ , x m , ( x − x 1 ) m , ( x − x 2 ) m , ⋯ , ( x − x n ) m } S_m \text{span} \lbrace 1,x,\cdots ,x^m,(x-x_1)_^m,(x-x_2)_^m,\cdots ,(x-x_n)_^m \rbrace Sm​span{1,x,⋯,xm,(x−x1​)m​,(x−x2​)m​,⋯,(x−xn​)m​} dim ( S m ) m n 1 \text{dim} (S_m)mn1 dim(Sm​)mn1 [!example]- 验证分片多项式是三次样条函数 s ( x ) { 1 − 2 x , x − 3 28 25 x 9 x 2 x 3 , − 3 ≤ x − 1 26 19 x 3 x 2 − x 3 , − 1 ≤ x 0 26 19 x 3 x 2 , 0 ≤ x s(x) \begin{cases} 1-2x ,x-3\\ 2825x9x^2x^3,-3\le x-1 \\ 2619x3x^2-x^3, -1\le x0\\ 2619x3x^2,0\le x \end{cases} s(x)⎩ ⎨ ⎧​1−2x2825x9x2x32619x3x2−x32619x3x2​,x−3,−3≤x−1,−1≤x0,0≤x​ 解利用光滑因子验证。 ( 28 x 25 x 9 x 2 x 3 ) − ( 1 − 2 x ) ( x 3 ) 3 (28x25x9x^2x^3)-(1-2x)(x3)^3 (28x25x9x2x3)−(1−2x)(x3)3 ( 26 19 x 3 x 2 − x 3 ) − ( 28 25 x 9 x 2 x 3 ) − 2 ( x 1 ) 3 (2619x3x^2-x^3)-(2825x9x^2x^3)-2(x1)^3 (2619x3x2−x3)−(2825x9x2x3)−2(x1)3 ( 26 19 x 3 x 2 ) − ( 26 19 x 3 x 2 − x 3 ) x 3 (2619x3x^2)-(2619x3x^2-x^3)x^3 (2619x3x2)−(2619x3x2−x3)x3 该函数为三次样条函数。 光滑因子的零点是已知的即为边界光滑因子的常数项只需看等式左边最高次多项式的系数就能得到。之后把右边的多项式展开看是不是和左边的相等就行。 2. 三次样条插值 设给定节点 a x 0 x 1 ⋯ x n b {ax_0x_1\cdots x_nb} ax0​x1​⋯xn​b 及节点上的函数值 f ( x i ) y i , i 0 , 1 , ⋯ , n f(x_i)y_i \,\,,\,\, i0,1,\cdots,n f(xi​)yi​,i0,1,⋯,n 节点是中间的点头尾点不是三次样条问题就是构造 s ( x ) ∈ S 3 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n − 1 ) {s(x)\in S_3(x_1,x_2,\cdots ,x_{n-1})} s(x)∈S3​(x1​,x2​,⋯,xn−1​) 满足插值条件 s ( x i ) y i , i 0 , 1 , ⋯ , n s(x_i)y_i \,\,,\,\, i0,1,\cdots,n s(xi​)yi​,i0,1,⋯,n 且有一定光滑性。 边界条件分类 s ′ ′ ( x 0 ) y 0 ′ ′ , s ′ ′ ( x n ) y n ′ ′ {s(x_0)y_0 \,\,,\,\, s(x_n)y_n} s′′(x0​)y0′′​,s′′(xn​)yn′′​ 当 y 0 ′ ′ y n ′ ′ 0 {y_0y_n0} y0′′​yn′′​0 为自然样条/自然边界 s ′ ( x 0 ) y 0 ′ , s ′ ( x n ) y n ′ {s(x_0)y_0 \,\,,\,\, s(x_n)y_n} s′(x0​)y0′​,s′(xn​)yn′​ s ′ ( x 0 ) s ′ ( x n − ) , s ′ ′ ( x 0 ) s ′ ′ ( x n − ) {s(x_0^)s(x_n^-) \,\,,\,\, s(x_0^)s(x_n^-)} s′(x0​)s′(xn−​),s′′(x0​)s′′(xn−​) 起始点和终止点导数相等适用于周期函数 2.1 B样条为基底的三次样条插值函数 对 [ a , b ] {[a,b]} [a,b] 进行 n {n} n 等分 时候的情况 s ( x ) ∑ j 0 n 2 c j Ω 3 ( x − x j − 1 h ) , a ≤ x ≤ b , h b − a n s(x) \sum_{j0}^{ n2}c_j \Omega_3(\frac{x-x_{j-1}}{h}) \,\,,\,\, a\le x\le b \,\,,\,\, h \frac{b-a}{n} s(x)j0∑n2​cj​Ω3​(hx−xj−1​​),a≤x≤b,hnb−a​ 其中B样条函数 $$ \Omega_3 (y) \begin{cases} 0 , |y|\ge2 \\ \frac{1}{2}|y|3-y2 \frac{2}{3},|y|\le1 \ \ \frac{1}{6} |y|3y2-2|y| \frac{4}{3} , 1|y|2 \end{cases} $$ 关键在于求 c j {c_j} cj​ 2.1.1 第一种边界条件 对第一种边界条件有三对角矩阵方程组 [ 4 1 0 ⋯ 0 1 4 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1 4 1 0 ⋯ 0 1 4 ] [ c 2 c 3 ⋮ c n − 1 c n ] [ 6 y 1 − y 0 h 2 6 y 0 ′ ′ 6 y 2 6 y 3 ⋮ 6 y n − 1 6 y n − 1 − y n h 2 6 y n ′ ′ ] \begin{bmatrix} 4 1 0 \cdots 0 \\ 1 4 1 \cdots 0 \\ \vdots \ddots \ddots \ddots \vdots \\ 0 \cdots 1 4 1 \\ 0 \cdots 0 1 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_2 \\c_3\\ \vdots \\c_{n-1}\\c_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6y_1-y_0 \frac{h^2}{6}y_0\\ 6y_2\\ 6y_3 \\ \vdots \\6y_{n-1}\\6y_{n-1}-y_n \frac{h^2}{6}y_n \end{bmatrix} ​41⋮00​14⋱⋯⋯​01⋱10​⋯⋯⋱41​00⋮14​ ​ ​c2​c3​⋮cn−1​cn​​ ​ ​6y1​−y0​6h2​y0′′​6y2​6y3​⋮6yn−1​6yn−1​−yn​6h2​yn′′​​ ​ { c 0 2 c 1 − c 2 h 2 y 0 ′ ′ c 1 y 0 − h 2 6 y 0 ′ ′ c n 1 y n − h 2 6 y n ′ ′ c n 2 6 c n − 1 − c n h 2 y n ′ ′ \begin{cases} c_02c_1-c_2h^2y_0 \\ \\ c_1y_0- \frac{h^2}{6}y_0 \\ \\ c_{n1}y_n- \frac{h^2}{6}y_n\\ \\ c_{n2}6c_{n-1}-c_n h^2y_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​c0​2c1​−c2​h2y0′′​c1​y0​−6h2​y0′′​cn1​yn​−6h2​yn′′​cn2​6cn−1​−cn​h2yn′′​​ 求出所有式子后带入B样条为基底的样条函数就得到了样条插值函数。 2.1.2 第二种边界条件 [ 4 2 0 ⋯ 0 1 4 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1 4 1 0 ⋯ 0 2 4 ] [ c 1 c 2 ⋮ c n c n 1 ] [ 6 y 0 2 h y 0 ′ 6 y 1 6 y 2 ⋮ 6 y n − 1 6 y n − 2 h y n ] \begin{bmatrix} 4 2 0 \cdots 0 \\ 1 4 1 \cdots 0 \\ \vdots \ddots \ddots \ddots \vdots \\ 0 \cdots 1 4 1 \\ 0 \cdots 0 2 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2\\ \vdots \\c_{n}\\c_{n1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6y_0 2hy_0\\ 6y_1\\ 6y_2 \\ \vdots \\6y_{n-1}\\6y_{n}-2hy_n \end{bmatrix} ​41⋮00​24⋱⋯⋯​01⋱10​⋯⋯⋱42​00⋮14​ ​ ​c1​c2​⋮cn​cn1​​ ​ ​6y0​2hy0′​6y1​6y2​⋮6yn−1​6yn​−2hyn​​ ​ { c 0 c 2 − 2 h y 0 ′ c n 2 c n 2 h y n ′ \begin{cases} c_0c_2-2hy_0 \\ \\ c_{n2}c_n2hy_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​c0​c2​−2hy0′​cn2​cn​2hyn′​​ 2.1.3 第三种边界条件 [ 4 1 0 ⋯ 1 1 4 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1 4 1 1 ⋯ 0 1 4 ] [ c 2 c 3 ⋮ c n c n 1 ] [ 6 y 1 6 y 2 6 y 3 ⋮ 6 y n − 1 6 y n ] \begin{bmatrix} 4 1 0 \cdots 1 \\ 1 4 1 \cdots 0 \\ \vdots \ddots \ddots \ddots \vdots \\ 0 \cdots 1 4 1 \\ 1 \cdots 0 1 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_2 \\c_3\\ \vdots \\c_{n}\\c_{n1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6y_1\\ 6y_2\\ 6y_3 \\ \vdots \\6y_{n-1}\\6y_{n} \end{bmatrix} ​41⋮01​14⋱⋯⋯​01⋱10​⋯⋯⋱41​10⋮14​ ​ ​c2​c3​⋮cn​cn1​​ ​ ​6y1​6y2​6y3​⋮6yn−1​6yn​​ ​ { c n 2 c 2 c 1 c n 1 c 0 c n \begin{cases} c_{n2}c_2 \\ \\ c_1c_{n1} \\ \\ c_0c_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​cn2​c2​c1​cn1​c0​cn​​ [!example]- x ∣ ∣ x 0 1 ∣ x 1 2 ∣ x 2 3 ∣ f ( x ) ∣ ∣ 2 ∣ 4 ∣ 8 ∣ − − − − − − − − f ′ ( x ) ∣ ∣ 1.3863 ∣ ∣ 5.5452 ∣ \begin{array}{cccccc} x|| x_01 | x_12 | x_23 | \\ \\ f(x) || 2 | 4 | 8 | \\ -------- \\ f(x) || 1.3863 | | 5.5452 | \end{array} xf(x)−f′(x)​∣∣∣∣−∣∣​x0​12−1.3863​∣∣−∣​x1​24−​∣∣−∣​x2​38−5.5452​∣∣−∣​ 求三次样条插值函数。使其满足 s ( x i ) f ( x i ) , s ′ ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) , s ′ ( x 2 ) f ′ ( x 2 ) {s(x_i)f(x_i) \,\,,\,\, s(x_0)f(x_0) \,\,,\,\, s(x_2)f(x_2)} s(xi​)f(xi​),s′(x0​)f′(x0​),s′(x2​)f′(x2​) 。 解边界条件二区间上被分成两段 n 2 {n2} n2 [ 4 2 0 1 4 1 0 2 4 ] [ c 1 c 2 c 3 ] [ 6 y 0 2 h y 0 ′ 6 y 1 6 y 2 − 2 h y 2 ′ ] [ 14.7726 24 36.9096 ] \begin{bmatrix} 4 2 0 \\ 1 4 1 \\ 0 2 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1\\c_2\\c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6y_02hy_0\\6y_1\\6y_2-2hy_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 14.7726\\24\\36.9096 \end{bmatrix} ​410​242​014​ ​ ​c1​c2​c3​​ ​ ​6y0​2hy0′​6y1​6y2​−2hy2′​​ ​ ​14.77262436.9096​ ​ [ c 1 c 2 c 3 ] [ 1.84657 3.69317 7.38081 ] \begin{bmatrix} c_1\\c_2\\c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1.84657\\3.69317\\7.38081 \end{bmatrix} ​c1​c2​c3​​ ​ ​1.846573.693177.38081​ ​ c 0 c 2 − 2 h y 0 ′ 0.92057 c_0c_2-2hy_00.92057 c0​c2​−2hy0′​0.92057 c 4 c 2 2 h y 2 ′ 14.7836 c_4c_22hy_214.7836 c4​c2​2hy2′​14.7836 ∴ s ( x ) 0.92057 Ω 3 ( x − 0 ) 1.84657 Ω 3 ( x − 1 ) 3.69317 Ω 3 ( x − 2 ) 7.38081 Ω 3 ( x − 3 ) 14.7836 Ω 3 ( x − 4 ) 1 ≤ x ≤ 3 \begin{align*} \therefore s(x)0.92057\Omega_3(x-0)1.84657\Omega_3(x-1)\\ 3.69317\Omega_3(x-2)7.38081\Omega_3(x-3)14.7836\Omega_3(x-4)\\ 1\le x\le 3 \end{align*} ∴s(x)​0.92057Ω3​(x−0)1.84657Ω3​(x−1)3.69317Ω3​(x−2)7.38081Ω3​(x−3)14.7836Ω3​(x−4)1≤x≤3​ 2.2 三弯矩法求三次样条插值函数 用于 区间长度 h {h} h 不一致的情况 s ( x ) M i − 1 6 h i ( x i − x ) 3 M i 6 h i ( x − x i − 1 ) 3 ( y i − 1 h i − M i − 1 6 h i ) ( x i − x ) ( y i h i − M i 6 h i ) ( x − x i ) x i − 1 ≤ x ≤ x i , i 1 , 2 , ⋯ , n \begin{align*} s(x) \frac{M_{i-1}}{6h_i}(x_i-x)^3 \frac{M_i}{6h_i}(x-x_{i-1})^3\\(\frac{y_{i-1}}{h_i}- \frac{M_{i-1}}{6}h_i)(x_i-x)(\frac{y_i}{h_i}- \frac{M_i}{6}h_i)(x-x_i)\\ x_{i-1}\le x\le x_i \,\,,\,\, i1,2, \cdots ,n \end{align*} s(x)​6hi​Mi−1​​(xi​−x)36hi​Mi​​(x−xi−1​)3(hi​yi−1​​−6Mi−1​​hi​)(xi​−x)(hi​yi​​−6Mi​​hi​)(x−xi​)xi−1​≤x≤xi​,i1,2,⋯,n​ 关键在求M。三弯矩方程 r i M i − 1 2 M i α i M i 1 β i , i 1 , 2 , ⋯ , n − 1 r_iM_{i-1}2M_i \alpha_iM_{i1} \beta_i \,\,,\,\, i1,2,\cdots ,n-1 ri​Mi−1​2Mi​αi​Mi1​βi​,i1,2,⋯,n−1 α i h i 1 h i h i 1 , r i 1 − α i \alpha_i \frac{h_{i1}}{h_ih_{i1}} \,\,,\,\, r_i1- \alpha_i αi​hi​hi1​hi1​​,ri​1−αi​ β i 6 h i h i 1 ( y i 1 − y i h i 1 − y i − y i − 1 h i ) \beta_i \frac{6}{h_ih_{i1}} \bigg( \frac{y_{i1}-y_i}{h_{i1}}- \frac{y_i-y_{i-1}}{h_i} \bigg) βi​hi​hi1​6​(hi1​yi1​−yi​​−hi​yi​−yi−1​​) 可以求得 α 1 ⋯ α n − 1 , r 1 ⋯ r n − 1 , β 1 ⋯ β n − 1 \alpha_1 \cdots \alpha_{n-1} \,\,,\,\, r_1 \cdots r_{n-1} \,\,,\,\, \beta_1 \cdots \beta_{n-1} α1​⋯αn−1​,r1​⋯rn−1​,β1​⋯βn−1​ 2.2.1 第一种边界条件 α 0 0 , β 0 2 y 0 ′ ′ , r n 0 , β n 2 y n ′ ′ \alpha_00 \,\,,\,\, \beta_02y_0 \,\,,\,\, r_n0 \,\,,\,\, \beta_n2y_n α0​0,β0​2y0′′​,rn​0,βn​2yn′′​ [ 2 α 0 r 1 2 α 1 ⋱ r n − 1 2 α n − 1 r n 2 ] [ M 0 M 1 ⋮ M n − 1 M n ] [ β 0 β 1 ⋮ β n − 1 β n ] \begin{bmatrix} 2 \alpha_0 \\ r_1 2 \alpha_1 \\ \ddots \\ r_{n-1} 2 \alpha_{n-1} \\ r_n 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} M_0\\M_1\\ \vdots \\M_{n-1}\\ M_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_0\\ \beta_1\\ \vdots \\ \beta_{n-1}\\ \beta_n \end{bmatrix} ​2r1​​α0​2​α1​⋱rn−1​​2rn​​αn−1​2​ ​ ​M0​M1​⋮Mn−1​Mn​​ ​ ​β0​β1​⋮βn−1​βn​​ ​ 可得 M 0 , M 1 , ⋯ , M n {M_0,M_1, \cdots , M_n} M0​,M1​,⋯,Mn​ 。 2.2.2 第二种边界条件 α 0 1 , r n 1 \alpha_01 \,\,,\,\, r_n1 α0​1,rn​1 β 0 6 h 1 ( y 1 − y 0 h 1 − y 0 ′ ) , β n 6 h n ( y n ′ − y n − y n − 1 h n ) \beta_0 \frac{6}{h_1}(\frac{y_1-y_0}{h_1}-y_0) \,\,,\,\, \beta_n \frac{6}{h_n} (y_n-\frac{y_n-y_{n-1}}{h_n}) β0​h1​6​(h1​y1​−y0​​−y0′​),βn​hn​6​(yn′​−hn​yn​−yn−1​​) 代入的矩阵式子和第一种边界条件的式子相同。求得 M 0 {M_0} M0​ 到 M n {M_n} Mn​ 。 2.2.3 第三种边界条件 M 0 M n , α n h 1 h 1 h n , r n 1 − α n M_0M_n \,\,,\,\, \alpha_n \frac{h_1}{h_1h_n} \,\,,\,\, r_n1- \alpha_n M0​Mn​,αn​h1​hn​h1​​,rn​1−αn​ β n 6 h 1 h n ( y 1 − y 0 h 1 − y n − y n − 1 h n ) \beta_n \frac{6}{h_1h_n}(\frac{y_1-y_0}{h_1}- \frac{y_n-y_{n-1}}{h_n}) βn​h1​hn​6​(h1​y1​−y0​​−hn​yn​−yn−1​​) [ 2 α 1 r 1 r 2 2 α 2 ⋱ r n − 1 2 α n − 1 α n r n 2 ] [ M 1 M 1 ⋮ M n − 1 M n ] [ β 1 β 1 ⋮ β n − 1 β n ] \begin{bmatrix} 2 \alpha_1 r_1 \\ r_2 2 \alpha_2 \\ \ddots \\ r_{n-1} 2 \alpha_{n-1} \\ \alpha_n r_n 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} M_1\\M_1\\ \vdots \\M_{n-1}\\ M_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1\\ \beta_1\\ \vdots \\ \beta_{n-1}\\ \beta_n \end{bmatrix} ​2r2​αn​​α1​2​α2​⋱rn−1​​2rn​​r1​αn−1​2​ ​ ​M1​M1​⋮Mn−1​Mn​​ ​ ​β1​β1​⋮βn−1​βn​​ ​ 下链