算法分析：蛮力法

一、实验目的

1 掌握蛮力法的设计思想(利用计算机去穷举所有的可能解,再从中依次找出可行解)
2 掌握蛮力法的具体实现和时间复杂度分析
3 理解蛮力法的常见特性
实验要求：先用伪代码描述利用蛮力法解决的算法解决方案，再用程序实现，计算时间复杂度，记录最终测试数据和测试结果

二、实验内容

（1）简短明确地写出实验的内容

（简单）实验内容1：计算一个整数数组中所有元素的差值。如a[0]-a[1]-…-a[n-1]。具体地，实验通过实现一个 substraction 方法来计算数组中元素的逐步相减，最后输出计算结果。
（中等）实验内容2：来计算两个整数的最大公约数（GCD），并将这两个整数化简为最简分数。程序包括输入验证，确保用户输入有效整数，并使用欧几里得算法提高计算效率。最后，输出化简后的结果。

三、问题分析

(1) 分析要解决的问题，给出你的思路，可以借助图表等辅助表达。

实验内容一
思路分析：
输入：我们有一个整数数组 a，长度为 n，即 a = [a[0], a[1], a[2], …, a[n-1]]
计算过程：
从数组的第一个元素 a[0] 开始，逐个从数组中每个元素中减去后续的元素。
可以通过一个简单的迭代来实现，从 a[0] 开始，接着依次减去 a[1], a[2], …, a[n-1]。
输出：输出最终的计算结果。
实验内容二
1.最大公约数计算：如何高效地计算两个整数的最大公约数。
利用循环和取余操作，可以高效地计算最大公约数。这种方法相较于简单遍历更高效。
2.分数化简：如何利用最大公约数将两个整数化简为最简分数。
通过将两个整数分别除以它们的最大公约数，得到最简形式的分数。
3.用户输入处理：如何确保用户输入的是有效的整数，并处理可能的错误输入。
使用 Scanner 读取用户输入，确保输入为整数。如果输入无效，提示用户重新输入。

（2）其它（你认为需要在此说明的）

边界条件: 程序需考虑特殊情况，例如输入为零或负数的情况。可以设置条件使得输入必须为正整数。

四、问题解决

(1)根据对问题的分析，写出解决办法。

实验内容一
我们可以通过一个循环来遍历数组，初始值为第一个元素，然后不断地从当前值中减去下一个元素。具体步骤如下：
初始化 result 为数组的第一个元素 a[0]。
从数组的第二个元素开始，依次减去每个元素，直到最后一个元素。
输出最终的 result。
实验内容二
1.用户输入：提示用户输入两个整数，并对输入进行有效性检查。
2.计算最大公约数（GCD）：使用欧几里得算法来高效计算最大公约数。
3.化简分数：用最大公约数化简输入的两个整数，输出最简分数形式。
4.错误处理和提示：如果用户输入无效（如非整数、负数等），给予明确提示并要求重新输入。

(2)描述你在进行实现时，主要的函数或操作内部的主要算法；分析这个算法的时间复杂度，并说明你设计的巧妙之处，如有创新，将其清晰的表述。

实验内容一

1.主要函数：
在这里插入图片描述

2.时间复杂度：
遍历数组：我们需要遍历整个数组 a 一次，计算每个元素的差值。具体来说，遍历从数组的第一个元素到最后一个元素，执行减法操作。
每次操作的时间：每一次从 result 中减去一个元素，所需的时间是常数时间 O(1)，因为减法操作是常数时间操作。
总时间复杂度：因为遍历数组需要执行 n-1 次减法，其中 n 是数组的长度，因此总的时间复杂度是 O(n)，其中 n 为数组的长度。

3.运行结果
在这里插入图片描述

实验内容二

主要函数：
在这里插入图片描述

1.选择最小值：首先使用三元运算符确定 m 和 n 中的较小值，赋值给 min。
2.循环查找：从 min 开始向下逐一检查每一个整数 i，判断 i 是否同时为 m 和 n 的因子（即 m % i == 0 且 n % i == 0）。
3.返回结果：一旦找到这样的 i，就立即返回它作为最大公约数。如果循环结束仍未找到，则返回1（表示 m 和 n 互质）。
4.
在最坏情况下，当 m 和 n 是互质的（如 8 和 9），函数会遍历到 min 的值，即 O(min(m, n)) 次。
因此，时间复杂度为 O(min(m, n))。

(3)运行结果截图以及其它（你认为需要在此说明的）
在这里插入图片描述

五、实验结果总结

回答以下问题：

(1)通过实验叙述你对蛮力法的理解及其优缺点

蛮力法是一种直接且简单的解决问题的方法，通常通过枚举所有可能的选项来寻找解决方案。在计算最大公约数时，蛮力法会逐一检查直至找到最大的共同因子。
优点：
简单易懂：实现代码较为简单，适合初学者理解。
可靠性：在小范围内能够保证找到正确答案。
缺点：
效率低：对于大数或复杂问题，时间复杂度较高，导致运行时间长。
资源消耗：可能需要较多的存储和计算资源，尤其在数据量大时。

(2)请列出对你实验中算法的改进之处。

1.使用欧几里得算法：改用欧几里得算法计算 GCD，可以将时间复杂度降低到 O(log(min(m, n)))，提高效率。
2.提前终止：在循环中，可以引入条件，例如如果 i 的平方大于 m 或 n，则可以提前结束查找。
3.缓存计算结果：对于频繁计算相同数对的情况，可以缓存已计算的 GCD 值，避免重复计算。