第 14 届蓝桥杯 C++ 青少组省赛中 / 高级组真题解析

一、选择题
第 1 题

题目：C++ 中，bool 类型的变量占用字节数为（ ）。


A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：A
解析：
C++ 标准规定，bool类型至少占用 1 字节（1 byte），用于存储true（非 0）或false（0）。尽管逻辑上只需 1 位，但内存分配以字节为最小单位，因此选 A。
考点：C++ 基础数据类型的内存占用。
重点：掌握bool、char、int、double等类型的字节数（如char占 1 字节，int通常占 4 字节）。
教学方案：通过对比表格讲解数据类型，强调bool的特殊性（1 字节而非 1 位），结合内存对齐原则理解。

第 2 题

题目：以下关于 C++ 结构体的说法，正确的是（ ）。
A. 结构体中只能包含成员变量，不能包含成员函数
B. 结构体不能从另一个结构体继承
C. 结构体里面可以包含静态成员变量
D. 结构体里面不能包含构造函数
答案：C
解析：

  • A 错误：结构体可包含成员函数（与类的区别仅在于默认访问权限为public）。
  • B 错误：结构体支持继承（语法与类相同，默认public继承）。
  • C 正确：结构体允许静态成员变量（属于类型本身，而非实例）。
  • D 错误：结构体可定义构造函数，用于初始化成员。
    考点：结构体与类的特性对比。
    重点：理解结构体的成员类型（变量、函数、静态成员、构造函数），区分结构体与类的默认访问权限。
    教学方案：编写包含成员函数和构造函数的结构体示例，演示继承语法，对比类与结构体的异同。
第 3 题

题目：设只含根结点的二叉树高度为 1，共有 62 个结点的完全二叉树的高度为（ ）。
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
答案：C
解析：
完全二叉树高度h满足：

  • 前h-1层是满二叉树，结点数为2^(h-1)-1；
  • 第h层至少 1 个结点，最多2^(h-1)个结点。
    计算：
  • 当h=5时，前 4 层结点数为2^4-1=15，总结点数最多15+8=23（<62，不满足）；
  • 当h=6时，前 5 层结点数为2^5-1=31，总结点数最多31+32=63（≥62，满足）。
    故高度为 6，选 C。
    考点：完全二叉树的结点数与高度关系。
    重点：掌握公式2^(h-1) ≤ 结点数 ≤ 2^h - 1，通过不等式求解高度。
    教学方案：画图演示满二叉树与完全二叉树的结构，推导高度计算公式，通过例题强化计算。
第 4 题

题目：以下关于数组的说法，不正确的是（ ）。
A. 数组中所有元素的类型必须都相同
B. 数组中各元素在内存中是顺序存放的
C. 数组最后一个元素的索引是数组的长度
D. 数组名的第一个字符可以是下划线
答案：C
解析：

  • A 正确：数组元素类型必须统一（如int arr[5]所有元素均为int）。
  • B 正确：数组在内存中连续存储，元素地址递增。
  • C 错误：索引从 0 开始，最后一个元素索引为长度-1（如长度 5 的数组索引 0~4）。
  • D 正确：数组名是标识符，允许以下划线开头（如_arr）。
    考点：数组的基本特性。
    重点：强调索引越界风险，区分数组长度与最大索引（长度 - 1）。
    教学方案：通过代码示例演示数组定义、访问，故意写出越界代码（如arr[5]对长度 5 的数组），观察错误现象。
第 5 题

题目：执行以下代码，输出结果是（ ）。

cpp

#include <iostream>  
using namespace std;  
int f(int k) {  if (k == 1) return 3;  return 2 * f(k - 1) + 1;  
}  
int main() {  int n = 6;  cout << f(n);  return 0;  
}

A. 127
B. 97
C. 63
D. 126
答案：A
解析：
递归函数递推关系：

  • 基例：f(1)=3
  • 递推：f(k)=2*f(k-1)+1
    展开计算：
  • f(2)=2×3+1=7
  • f(3)=2×7+1=15
  • f(4)=2×15+1=31
  • f(5)=2×31+1=63
  • f(6)=2×63+1=127
    考点：递归函数的递推计算。
    重点：理解递归终止条件与递推公式，可转化为等比数列（通项公式：f(k)=2^(k+1)-1）。
    教学方案：用递归展开法逐步计算，引入数学归纳法推导通项公式，避免深层递归导致栈溢出。
二、编程题
第 6 题：特殊运算符

题目描述：
定义运算符 “>>>N” 为提取 N 的前两位数字（如 257→25，182→18），计算 N - (>>>N)。
输入：三位数 N（100<N<1000）。
输出：N 减去前两位的结果。
样例输入：257 → 输出 232（257-25=232）。

答案代码：

cpp

#include <iostream>  
using namespace std;  
int main() {  int n;  cin >> n;  int first_two = n / 10; // 提取前两位（如257/10=25）  cout << n - first_two << endl;  return 0;  
}

解析：
三位数的前两位可通过整数除法n//10得到（如 933//10=93），直接计算差值即可。
考点：数字处理（整数除法提取高位）。
重点：掌握//和%的用法，明确三位数的结构（百位 ×100 + 十位 ×10 + 个位）。
教学方案：通过分解数字的各位（百位、十位、个位）演示n//100、n//10%10、n%10，强调整数除法的应用。

第 7 题：四叶玫瑰数

题目描述：
找出四位数中各位数字的四次方之和等于自身的数（如 1634=1⁴+6⁴+3⁴+4⁴），输出 N~M 范围内的数。
输入：N 和 M（1≤N≤M≤1e6）。
输出：按从小到大顺序的四叶玫瑰数。
样例输入：1234 2345 → 输出 1634。

答案思路：

  1. 仅枚举四位数（1000≤num≤9999），减少计算量；
  2. 分解各位数字：千位a=num/1000，百位b=num/100%10，十位c=num/10%10，个位d=num%10；
  3. 计算四次方和，若等于原数则输出。

代码框架：

cpp

#include <iostream>  
using namespace std;  
bool is_rose(int num) {  int a = num / 1000, b = num / 100 % 10, c = num / 10 % 10, d = num % 10;  return a*a*a*a + b*b*b*b + c*c*c*c + d*d*d*d == num;  
}  
int main() {  int n, m;  cin >> n >> m;  for (int i = max(n, 1000); i <= min(m, 9999); i++) {  if (is_rose(i)) cout << i << " ";  }  return 0;  
}

考点：枚举算法与数字分解。
重点：限定枚举范围（仅四位数），优化循环条件，避免无效计算（如处理 N<1000 或 M>9999 的情况）。
教学方案：讲解 “四叶玫瑰数” 的数学定义，演示数字分解方法，强调提前过滤非四位数以提高效率。

第 8 题：质因数的个数

题目描述：
统计 N~M 之间每个数的质因数个数（重复质因数算多个，如 8=2×2×2，个数为 3），求最大值。
输入：N 和 M（1≤N≤M≤1e7）。
输出：最大质因数个数。
样例输入：6 10 → 输出 3（8 的质因数个数为 3）。

答案思路：

  1. 对每个数num进行质因数分解：从 2 到√num 试除，统计每个质因数的次数；
  2. 若试除后num>1，说明剩余部分是质数，次数加 1；
  3. 遍历 N~M，记录最大次数。

代码核心：

cpp

int count_prime_factors(int num) {  int count = 0;  for (int i = 2; i * i <= num; i++) {  while (num % i == 0) { // 统计i的次数  count++;  num /= i;  }  }  if (num > 1) count++; // 处理剩余质数（如7、13等）  return count;  
}

考点：质因数分解与贪心统计。
重点：试除法分解质因数，区分质因数的 “种类” 与 “个数”（本题统计个数，包括重复）。
教学方案：通过示例（如 12=2²×3¹，个数 2+1=3）讲解质因数个数的定义，演示试除过程，强调从小到大试除以确保质因数。

第 9 题：最大的矩形纸片

题目描述：
在直方图中找最大矩形面积（高度数组 [3,2,1,4,5,2] 的最大面积为 8）。
输入：N（列数）和高度数组。
输出：最大矩形面积。

答案思路：
使用单调栈算法：

  1. 维护一个单调递增栈，存储索引，对应高度递增；
  2. 遍历每个高度，找到左右两边第一个比它小的位置，计算宽度right - left - 1，面积 = 高度 × 宽度；
  3. 处理边界条件（数组末尾加 0，确保栈中元素全部弹出）。

代码框架：

cpp

#include <iostream>  
#include <stack>  
using namespace std;  
long long max_area(int n, int* heights) {  stack<int> st;  long long res = 0;  for (int i = 0; i <= n; i++) { // 末尾加0，处理所有元素  while (!st.empty() && (i == n || heights[st.top()] >= heights[i])) {  int h = heights[st.top()]; st.pop();  int w = st.empty() ? i : i - st.top() - 1;  res = max(res, (long long)h * w);  }  st.push(i);  }  return res;  
}

考点：直方图最大矩形面积（单调栈算法）。
重点：理解单调栈的作用（快速找到左右边界），处理数据类型溢出（使用long long）。
教学方案：通过直方图画图演示单调栈的工作流程，解释每个步骤的意义，对比暴力法与单调栈的时间复杂度（O (n) vs O (n²)）。

第 10 题：数字游戏

题目描述：
交替调整最小数到第二小、最大数到第二大，直到不同数少于 3 个，输出调整次数、最终最小和最大值。
输入：数组。
输出：次数、最终最小值、最大值。
样例输入：1 3 4 2 → 调整 2 次，结果 2 2 3。

答案思路：

  1. 每次操作后排序数组，统计不同数的数量；
  2. 第奇数次操作：将所有最小数改为第二小数；
  3. 第偶数次操作：将所有最大数改为第二大数；
  4. 直到不同数≤2 时终止。

代码核心：

cpp

#include <iostream>  
#include <vector>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
int main() {  int n;  vector<int> nums;  cin >> n >> nums;  int count = 0;  bool is_min_turn = true; // 第一次调整最小数  while (true) {  sort(nums.begin(), nums.end());  // 统计不同数  int unique = 1;  for (int i = 1; i < n; i++) {  if (nums[i] != nums[i-1]) unique++;  }  if (unique < 3) break;  if (is_min_turn) {  int second_min = nums[1];  for (int i = 0; i < n; i++) {  if (nums[i] == nums[0]) nums[i] = second_min;  }  } else {  int second_max = nums[n-2];  for (int i = 0; i < n; i++) {  if (nums[i] == nums[n-1]) nums[i] = second_max;  }  }  count++;  is_min_turn = !is_min_turn;  }  sort(nums.begin(), nums.end());  cout << count << " " << nums[0] << " " << nums.back() << endl;  return 0;  
}

考点：模拟算法与排序。
重点：每次操作后排序，正确识别第二小 / 第二大数，处理边界情况（如所有数相同）。
教学方案：通过示例演示调整过程，强调排序的重要性，讲解如何统计不同数的数量（遍历或使用集合）。

第 11 题：活动人数

题目描述：
树状结构中，选某部门则不能选直接下级，求最大人数（树形动态规划）。
输入：部门数 N，每个部门的上级 F、编号 S、人数 C。
输出：最大人数。
样例输入：6 个部门，输出 11（选部门 1、4、5、6，人数 2+3+2+4=11）。

答案思路：
每个节点有两种状态：

  • dp[u][1]：选节点 u 时，最大人数（等于 u 的人数 + 所有子节点不选的最大值）；
  • dp[u][0]：不选节点 u 时，最大人数（等于所有子节点选或不选的最大值之和）。
    通过深度优先搜索（DFS）递归计算每个节点的状态。

代码框架：

cpp

#include <iostream>  
#include <vector>  
using namespace std;  
struct Node {  int c;  vector<int> children;  
};  
Node nodes[100001];  
int dp[100001][2]; // dp[u][1]选，dp[u][0]不选  void dfs(int u) {  dp[u][1] = nodes[u].c; // 选当前节点，初始化为自身人数  for (int v : nodes[u].children) {  dfs(v);  dp[u][1] += dp[v][0]; // 子节点不能选  dp[u][0] += max(dp[v][0], dp[v][1]); // 子节点可选或不选  }  
}  int main() {  int n;  cin >> n;  for (int i = 1; i <= n; i++) {  int f, s, c;  cin >> f >> s >> c;  nodes[s].c = c;  if (f != 0) nodes[f].children.push_back(s); // 构建树结构  }  // 找根节点（上级为0的节点）  int root = 0;  for (int i = 1; i <= n; i++) {  if (nodes[i].children.size() > 0 && (root == 0 || ...)) {  // 实际应遍历找到f=0的s  // 正确方法：记录每个节点的父节点，找父节点为0的节点  }  // 简化：假设根节点是1（需根据输入正确查找）  root = 1; // 实际需遍历所有节点，找到f=0对应的s  }  dfs(root);  cout << max(dp[root][0], dp[root][1]) << endl;  return 0;  
}

考点：树形动态规划（树上的选与不选问题）。
重点：树的存储（邻接表），状态转移方程的推导，根节点的确定（上级为 0 的节点）。
教学方案：讲解树的基本概念，演示状态转移方程的推导过程，通过样例分析选与不选的决策对结果的影响，强调递归 DFS 的实现。

详细教学方案

一、选择题模块

  1. 数据类型与内存：

    • 对比bool、char、int等类型的字节数，通过代码sizeof(bool)验证。
    • 讲解内存对齐原则，解释为何bool占 1 字节而非 1 位。

  2. 结构体与类：

    • 编写包含成员函数、构造函数、静态成员的结构体示例，演示继承语法（struct B : public A）。
    • 对比结构体与类的默认访问权限（public vs private）。

  3. 二叉树性质：

    • 画图演示满二叉树与完全二叉树，推导高度计算公式h = floor(log2(n)) + 1。
    • 通过练习题（如结点数 30、63 的高度）强化计算。

  4. 数组基础：

    • 演示数组定义、初始化、越界访问，用调试工具观察内存布局。
    • 强调索引从 0 开始，通过错误案例（如访问arr[len]）加深印象。

  5. 递归函数：

    • 用递归展开法计算第 5 题，引入数学归纳法推导通项公式f(k)=2^(k+1)-1。
    • 讲解递归与迭代的转换，避免栈溢出（如限制递归深度）。
二、编程题模块

  1. 数字处理（第 6 题）：

    • 讲解整数除法//和取余%的用法，分解三位数的百位、十位、个位。
    • 设计变式题：提取前两位（三位数）、前三位（四位数），计算差值。

  2. 枚举算法（第 7 题）：

    • 限定枚举范围（四位数），避免无效循环（如 N=500 时从 1000 开始枚举）。
    • 优化数字分解：用数学公式快速获取各位数字，减少计算量。

  3. 质因数分解（第 8 题）：

    • 演示试除法分解质因数，强调从小到大试除确保质因数（如先除 2，再除 3，直到√num）。
    • 区分质因数的 “个数” 与 “种类”（本题统计个数，包含重复）。

  4. 单调栈算法（第 9 题）：

    • 通过直方图动画演示单调栈的工作流程，解释每个元素的左右边界如何确定。
    • 对比暴力法（O (n²)）与单调栈（O (n)）的效率，强调算法优化的重要性。

  5. 模拟与排序（第 10 题）：

    • 通过示例表格记录每次调整后的数组状态，演示排序的作用（快速找到最小 / 最大值）。
    • 处理边界情况：如所有数相同（直接输出 0 次），或只有两种不同数（无需调整）。

  6. 树形动态规划（第 11 题）：

    • 讲解树的存储方式（邻接表），如何构建树结构（根据输入的上下级关系）。
    • 推导状态转移方程：选当前节点则子节点不能选，不选则子节点可选或不选，取最大值。
    • 通过样例分析递归过程，强调根节点的正确查找（上级为 0 的节点）。
三、实战训练
  • 选择题：设计 10 道同类题目，涵盖数据类型、结构体、二叉树、数组、递归等考点，限时 5 分钟完成。
  • 编程题：
    • 第 6 题变式：处理四位数，提取前三位，计算差值。
    • 第 8 题优化：预处理质数表，加速质因数分解（适用于大数据范围）。
    • 第 11 题扩展：处理森林（多棵树），求所有树的最大人数之和。
  • 调试技巧：
    • 学会使用断点调试，观察递归过程或循环变量变化。
    • 针对超时问题，分析算法时间复杂度，优化循环条件或选择更高效的算法（如单调栈替代双重循环）。

通过以上教学方案，学生可系统掌握 C++ 基础、算法思维和编程技巧，提升解决竞赛题目的能力。

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