人工智能数学基础（三）：微积分初步

微积分作为数学的重要分支，为人工智能的发展提供了坚实的理论基础。从理解数据的变化趋势到优化模型参数，微积分的应用贯穿其中。本文将深入探讨微积分的核心概念，并结合 Python 编程实例，助力大家轻松掌握这些关键知识点。资源绑定附上完整资源供读者参考学习！

3.1 极限

3.1.1 极限

极限是微积分的基石，用于描述函数在某一点附近的趋势。例如，当 x 趋近于某个值 a 时，函数 f(x) 的极限为 L，表示 f(x) 的值可以无限接近 L。常见的求极限方法有代入法、因式分解法、有理化法等。

3.1.2 连续性

连续性描述函数图像的连贯性。若函数 f(x) 在点 x=a 处的极限存在且等于 f(a)，则称 f(x) 在 x=a 处连续。连续函数的图像是一条不间断的曲线。

案例及应用：求函数极限

案例描述 ：计算函数 f(x) = (x² - 1)/(x - 1) 在 x 趋近于 1 时的极限。

import sympy as spx = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 1)/(x - 1)# 计算极限
limit_result = sp.limit(f, x, 1)
print("函数 f(x) 在 x 趋近于 1 时的极限为：", limit_result)

3.2 导数与微分

3.2.1 导数

导数衡量函数在某一点的瞬时变化率。几何上，它表示函数曲线在该点处的切线斜率。例如，若 s(t) 表示物体的位移随时间的变化，则 s’(t) 表示物体的瞬时速度。

3.2.2 偏导数

对于多元函数，偏导数是函数关于其中一个变量的导数，其余变量视为常数。例如，对于函数 f(x, y)，其对 x 的偏导数为 ∂f/∂x。

3.2.3 梯度和方向导数

梯度是多元函数在某一点的最大变化率方向的向量，由各变量的偏导数组成。方向导数表示函数在某一特定方向上的变化率。

案例及应用：计算导数和梯度

案例描述 ：计算函数 f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2 的导数，并求出其在 x=2 处的导数值；计算函数 f(x, y) = x² + y² 的梯度。

import sympy as sp
import numpy as np# 一元函数导数
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 2
f_prime = sp.diff(f, x)
print("函数 f(x) 的导数为：", f_prime)
print("函数 f(x) 在 x=2 处的导数值为：", f_prime.subs(x, 2))# 多元函数梯度
x, y = sp.symbols('x y')
f_multivar = x**2 + y**2
gradient = [sp.diff(f_multivar, var) for var in (x, y)]
print("函数 f(x, y) 的梯度为：", gradient)

3.3 导数在函数性质中的应用

3.3.1 单调性

通过研究函数的导数符号，可以判断函数的单调性。若导数大于 0，则函数在该区间单调递增；若导数小于 0，则函数单调递减。

3.3.2 凹凸性

二阶导数的符号用于判断函数的凹凸性。若二阶导数大于 0，函数在该区间是凹的；若二阶导数小于 0，则函数是凸的。

3.3.3 极值

极值是函数在某一点的局部最大值或最小值。寻找极值点可通过求导数并解方程 f’(x)=0 来实现。

案例及应用：分析函数的单调性、凹凸性和极值

案例描述 ：分析函数 f(x) = x³ - 3x² + 1 的单调性、凹凸性和极值。

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2 + 1# 计算一阶导数和二阶导数
f_prime = sp.diff(f, x)
f_double_prime = sp.diff(f_prime, x)# 解方程 f’(x)=0 找到临界点
critical_points = sp.solve(f_prime, x)# 判断单调性、凹凸性和极值
monotonicity = []
for interval in [(-sp.oo, critical_points[0]), (critical_points[0], critical_points[1]), (critical_points[1], sp.oo)]:test_point = (interval[0] + interval[1])/2 if interval[0] != -sp.oo and interval[1] != sp.oo else (interval[0] + 1 if interval[0] != -sp.oo else interval[1] - 1)if f_prime.subs(x, test_point) > 0:monotonicity.append(f"在区间 {interval} 上单调递增")else:monotonicity.append(f"在区间 {interval} 上单调递减")convexity = []
for interval in [(-sp.oo, critical_points[1]), (critical_points[1], sp.oo)]:test_point = (interval[0] + interval[1])/2 if interval[0] != -sp.oo and interval[1] != sp.oo else (interval[0] + 1 if interval[0] != -sp.oo else interval[1] - 1)if f_double_prime.subs(x, test_point) > 0:convexity.append(f"在区间 {interval} 上是凹的")else:convexity.append(f"在区间 {interval} 上是凸的")extrema = []
for point in critical_points:if f_double_prime.subs(x, point) > 0:extrema.append(f"在 x={point} 处有极小值")elif f_double_prime.subs(x, point) < 0:extrema.append(f"在 x={point} 处有极大值")print("单调性：", monotonicity)
print("凹凸性：", convexity)
print("极值：", extrema)# 绘制函数图像
x_vals = np.linspace(-1, 3, 400)
y_vals = x_vals**3 - 3*x_vals**2 + 1plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x_vals, y_vals, label='f(x) = x**3 - 3x**2 + 1',color='gold')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('函数图像')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

3.4 一元积分学

3.4.1 不定积分

不定积分是求导的逆运算，表示所有原函数的集合。例如，函数 f(x) 的不定积分表示为 ∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F’(x)=f(x)，C 为积分常数。

3.4.2 微分方程

微分方程是含有未知函数及其导数的方程。例如，dy/dx = ky 是一个一阶微分方程，其解为指数函数 y = Ce^{kx}。

3.4.3 定积分

定积分用于计算曲线与坐标轴之间的面积。例如，函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分为 ∫ₐᵇ f(x)dx。

案例及应用：计算不定积分和定积分

案例描述 ：计算函数 f(x) = 2x 的不定积分，并计算其在区间 [1, 3] 上的定积分。

import sympy as spx = sp.symbols('x')
f = 2*x# 计算不定积分
indefinite_integral = sp.integrate(f, x)
print("函数 f(x) 的不定积分为：", indefinite_integral)# 计算定积分
definite_integral = sp.integrate(f, (x, 1, 3))
print("函数 f(x) 在区间 [1, 3] 上的定积分为：", definite_integral)

3.5 多元积分学

3.5.1 二重积分的概念

二重积分是定积分在多元函数中的推广，用于计算曲顶柱体的体积。例如，函数 f(x, y) 在区域 D 上的二重积分为 ∬₀ D f(x, y)dxdy。

3.5.2 二重积分的计算

计算二重积分通常采用迭代积分的方法，先对一个变量积分，再对另一个变量积分。

案例及应用：计算二重积分

案例描述 ：计算函数 f(x, y) = x² + y² 在区域 D（0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1）上的二重积分。

import sympy as spx, y = sp.symbols('x y')
f = x**2 + y**2# 计算二重积分
double_integral = sp.integrate(sp.integrate(f, (x, 0, 1)), (y, 0, 1))
print("函数 f(x, y) 在区域 D 上的二重积分为：", double_integral)

3.6 实验：梯度下降法

3.6.1 实验目的

理解梯度下降法的基本原理，掌握其在 Python 中的实现方法，并应用于函数优化问题。

3.6.2 实验要求

使用梯度下降法优化一个简单的二次函数，观察其收敛过程，并绘制收敛曲线。

3.6.3 实验原理

梯度下降法是一种基于梯度的优化算法。通过计算目标函数的梯度，不断更新参数，使目标函数值逐步减小，最终收敛到极小值点。

3.6.4 实验步骤

定义目标函数和计算梯度的函数。
初始化参数和学习率。
迭代更新参数，直到满足停止条件。
绘制收敛曲线。

3.6.5 实验结果

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 目标函数和梯度函数
def f(x):return x**2 + 2*x + 1def grad_f(x):return 2*x + 2# 初始化参数
x = 5  # 初始点
learning_rate = 0.1
max_iter = 100
tolerance = 1e-6# 梯度下降迭代
history = []
for i in range(max_iter):grad = grad_f(x)x = x - learning_rate * gradhistory.append(f(x))if abs(grad) < tolerance:break# 绘制收敛曲线
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(range(len(history)), history, marker='o',color='r',linestyle='dashed')
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('目标函数值')
plt.title('梯度下降法收敛过程')
plt.grid(True)
plt.show()print("优化后的 x 值为：", x)
print("最小值为：", f(x))