福州省建设局网站,辽宁建设工程人才网,辽宁大连建设工程信息网站,网站建设 商业价值1.简述 1 牛顿法简介 牛顿迭代法#xff08;Newton’s method#xff09;又称为牛顿-拉夫逊#xff08;拉弗森#xff09;方法#xff08;Newton-Raphson method#xff09;#xff0c;它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。 多数方程不存…1.简述 1 牛顿法简介 牛顿迭代法Newton’s method又称为牛顿-拉夫逊拉弗森方法Newton-Raphson method它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。 多数方程不存在求根公式因此求精确根非常困难甚至不可解从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数 f ( x ) f(x)f(x) 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 f ( x ) 0 f(x)0f(x)0 的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一其最大优点是在方程 f ( x ) 0 f(x)0f(x)0 的单根附近具有平方收敛而且该法还可以用来求方程的重根、复根此时线性收敛但是可通过一些方法变成超线 性收㪉。另外该方法广泛用于计算机编程中。 2 牛顿法原理 设 r rr 是 f ( x ) 0 f(x)0f(x)0 的根选取 x 0 x_{0}x  0 ​ 作为 r rr 的初始近似值过点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) \left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)(x  0 ​  ,f(x  0 ​  )) 做曲线 y f ( x ) yf(x)yf(x) 的切线 L LL L : y f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) L: yf\left(x_{0}\right)f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)L:yf(x  0 ​  )f  ′  (x  0 ​  )(x−x  0 ​  ) 则 L LL 与 x xx 轴交点的横坐标 x 1 x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) x_{1}x_{0}-\frac{f\left(x_{0}\right)}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}x  1 ​  x  0 ​  −    为 r rr 的一次近似值。过点 ( x 1 , f ( x 1 ) ) \left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)(x  1 ​  ,f(x  1 ​  )) 做曲线 y f ( x ) yf(x)yf(x) 的切线并求该切线与 × \times× 轴交点的横坐标 x 2 x 1 − f ( x 1 ) f ′ ( x 1 ) x_{2}x_{1}-\frac{f\left(x_{1}\right)}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}x  2 ​  x  1 ​  −  f  ′  (x  1 ​  ) f(x  1 ​  ) ​   称 x 2 x_{2}x  2 ​   为 r \mathrm{r}r 的二次近似值。重曷 以上过程得 r rr 的近似值序列其中 x n 1 x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n1}x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}x    称为 r rr 的 n 1 n1n1 次近似值上式称为牛顿迭代公式。 用牛顿迭代法解非线性方程是把非线性方程 f ( x ) 0 f(x)0f(x)0 线性化的一种近似方法。把 f    的桌邻域内展开成泰勒 级数 f ( x ) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 2 ! ⋯ f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n n ! R n ( x ) f(x)f\left(x_{0}\right)f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2 !}\cdots\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n !}R_{n}(x)f(x)取其线性部分 (即泰勒展开的前两项)并令其等于 0 即 f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 0 f\left(x_{0}\right)f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)0f(x  以此作为非线性方程 f ( x ) 0 f(x)0f(x)0 的近似方程 若 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0f  则其解为 x 1 x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) x_{1}x_{0}-\frac{f\left(x_{0}\right)}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}x  这样得到牛顿迭代法的一个朱代关系式: x n 1 x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n1}x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}x  。 已经证明如果是连续的并且待求的零点是孤立的那么在零点周围存在一个区域只要初始值位于这个邻近区域内那 么牛顿法必定收敛。并且如果不为 0 , 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说这意味着每造代一次牛顿法结果的有效 数字将增加一倍。 2.代码 主程序 %%   用牛顿法求最优化解 f1205 inline(x(1)*(x(1)-5-x(2))x(2)*(x(2)-4),x);%目标函数 gradinline([2*x(1)-5-x(2),-x(1)2*x(2)-4],x); %目标函数的梯度函数 x0 [-8;-8];  optionsoptimset(TolX,1e-4,TolFun,1e-9,MaxIter,100); xo fsolve(grad,x0,options) %用fsolve求解非线性方程零点 yof1205(xo) 3.运行结果