复习下相对论速度叠加公式吧，物理，是不是很多人都忘了呀。假设速度为$u,v$，那么叠加后的速度$w$为：
$$w=\frac{u+v}{1+uv/c^2}$$
  这个公式告诉我们，在一个速度为2/3光速的飞船上发射速度2/3的导弹，导弹速度不会等于4/3光速，也就是任何速度不能超过光速。
  因为任何速度不能超过光速，这样我们可以从另一个角度来分析。我们定义两个变量x和y，x是速度u相对光速的比例，y是速度v相对于光速的比例，z是速度w相当于光速的比例，那么合成的速度z就等于：
$$z=w/c=\frac{u+v}{1/c+uv/c^3}=\frac{u/c+v/c}{1+(u/c)(v/c)}=\frac{x+y}{1+xy}$$
  把这个函数可视化：

快度Rapidity

  回忆一下双曲正切的加法公式：
$$\begin{gathered} \tanh (a+b)=\frac{\tanh a+\tanh b}{1+\tanh a\tanh b} \\ z=\frac{x+y}{1+xy} \end{gathered}$$
  两个公式是不是长得很像？那么定义：
$$\begin{gathered} x=\tanh a \\ y=\tanh b \end{gathered}$$
  角度a，b就是速度x和y的快度，那么速度叠加就变成了双曲正切的角度叠加了。所以快度r就是：
$$r=\mathrm{arctanh}\frac{v}{c}$$
  所以如果我们用快度代替速度，就可以线性叠加了。

用快度计算光速

  速度u,v利用快度计算叠加后的速度w方法如下：
$$\begin{gathered} a=\mathrm{arctanh}\frac{u}{c} \\ b=\mathrm{arctanh}\frac{v}{c} \\ \frac{w}{c}=\tanh (a+b) \\ w=\tanh (a+b)c \end{gathered}$$

速度变换为快度

  取速度为-c到c，除于c,转换为小数，可以画出其图形,也就是反双曲正切的图形：

快度转换为速度

  也就是双曲正切函数：