LeetCode 热题 100 | 64. 最小路径和

大家好，今天我们来解决一道经典的动态规划问题——最小路径和。这道题在 LeetCode 上被标记为中等难度，要求找到从网格的左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

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问题描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 200

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解题思路

核心思想

1. 动态规划：

   • 使用动态规划（DP）来解决这个问题。
   • 定义 dp[i][j] 为从网格的左上角到达位置 (i, j) 的最小路径和。
   • 状态转移方程为：
     [
     dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
     ]
     其中，dp[i-1][j] 表示从上方到达 (i, j) 的最小路径和，dp[i][j-1] 表示从左方到达 (i, j) 的最小路径和。

2. 初始化：

   • dp[0][0] = grid[0][0]，因为从起点到起点的路径和就是起点的值。
   • 第一行和第一列的所有位置只能从一个方向到达，因此初始化为累加值。

3. 遍历：

   • 遍历整个网格，根据状态转移方程更新 dp[i][j]。

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Python代码实现

class Solution:def minPathSum(self, grid):m, n = len(grid), len(grid[0])dp = [[0] * n for _ in range(m)]dp[0][0] = grid[0][0]# 初始化第一行for j in range(1, n):dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]# 初始化第一列for i in range(1, m):dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]# 遍历网格for i in range(1, m):for j in range(1, n):dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]return dp[m-1][n-1]

代码解析

1. 初始化：

   • dp 数组初始化为一个 m x n 的二维列表，所有值初始化为 0。
   • dp[0][0] = grid[0][0]，因为从起点到起点的路径和就是起点的值。
   • 第一行和第一列的所有位置只能从一个方向到达，因此初始化为累加值。

2. 状态转移：

   • 遍历从 (1, 1) 到 (m-1, n-1) 的每个位置 (i, j)。
   • 对于每个位置 (i, j)，更新 dp[i][j] 为 min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]。

3. 返回结果：

   • 最终结果存储在 dp[m-1][n-1] 中，表示从左上角到右下角的最小路径和。

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复杂度分析

• 时间复杂度：O(m * n)，其中 m 和 n 分别是网格的行数和列数。需要遍历整个网格。
• 空间复杂度：O(m * n)，使用了大小为 m x n 的 dp 数组。

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示例运行

示例 1

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

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总结

通过动态规划的方法，我们可以高效地解决最小路径和问题。状态转移方程 dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j] 确保了我们能够找到从左上角到右下角的最小路径和。希望这篇题解对大家有所帮助，如果有任何问题，欢迎在评论区留言讨论！

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