考点一：方阵的幂

1. 计算方法

(1) ​找规律法​

• ​适用场景​：低阶矩阵或具有周期性规律的矩阵。
• ​示例​：
  计算 $A={\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^n$：
  • 当 $n$ 为奇数时，$A^n=A$；
  • 当 $n$ 为偶数时，$A^n=I$。

(2) ​成比例法​

• ​结论​：若矩阵 $A$ 的秩 $r(A)<n$，则 $A^n=0$（当 $n\ge r(A)+1$ 时）。
• ​示例​：
  $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，则 $A^2=0$。

(3) ​相似对角化法​

• ​步骤​：
  1. 求矩阵 $A$ 的特征值 ${\lambda }_i$；
  2. 若 $A$ 可对角化（即存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP=\Lambda$），则 $A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$。
• ​示例​：
  $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$，其特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=2$，则 $A^n=2^{n-1}\left(\begin{array}{cc}2& n\\ 0& 2\end{array}\right)$。

(4) ​二项式展开法​

• ​适用场景​：矩阵可表示为 $A=B+C$，其中 $B,C$ 可交换且 $C$ 易求幂。
• ​公式​：
  $$(B+C{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{B}^{n-k}{C}^k$$

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考点二：矩阵的转置、伴随、逆

1. ​转置矩阵​

• ​性质​：
  • $|A^T|=|A|$
  • $(kA{)}^T=k{A}^T$
  • $(A^T{)}^T=A$
  • $(AB{)}^T=B^T{A}^T$
  • $(A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T$
  • 矩阵A为对称矩阵：$|A^T|=|A|$
  • $(A+B{)}^T=A^T+B^T$（特别记忆）

2. ​伴随矩阵​

• ​定义​：$A^{\ast }=(\mathrm{adj}(A){)}_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ji}$，其中 $M_{ji}$ 为余子式。
• ​性质​：
  • $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$
  • $(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$
  • $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$
  • $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$
  • $(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }$

3. ​逆矩阵​

• ​存在条件​：
  • $|A|\ne 0$
  • 矩阵的行（列）向量组线性无关
  • 矩阵满秩（$r(A)=n$）
• ​求逆方法​：
  • ​伴随矩阵法​：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$
  • ​初等变换法​：对 $(A|E)$ 进行行变换，化为 $(E|A^{-1})$。
• ​性质​：
  • $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$
  • $(kA{)}^{-1}=k^{-1}{A}^{-1}$
  • $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
  • $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
  • $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$

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考点三：初等变换与初等矩阵

1. ​初等矩阵分类与运算​

• 行（列）交换：交换初等矩阵 $E$ 的 第 $i$ 行与第 $j$ 行
  • 逆：$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$
  • 转置：$E_{ij}^T=E_{ij}$
  • 伴随： $E_{ij}^{\ast }=-E_{ij}$
• 行（列）倍乘：将初等矩阵 $E$ 的 第 $i$ 行乘 $k$ 倍
  • 逆：$E_i^{-1}(k)=E_i(\frac{1}{k})$
  • 转置：$E_i^T(k)=E_i(k)$
  • 伴随： $E_i^{\ast }(k)=k{E}_i(\frac{1}{k})$
• 行（列）倍加：交换初等矩阵 $E$ 的 第 $i$ 行乘 $k$ 倍加到第 $j$ 行
  • 逆：$E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)$
  • 转置：$E_{ij}^T(k)=E_{ji}(k)$ 注意这里的下标交换了位置
  • 伴随：$E_{ij}^{\ast }(k)=E_{ij}(-k)$

初等行变化，左乘初等矩阵；初等列变化，右乘初等矩阵。左行右列

2. ​核心性质​

• ​可逆性​：初等矩阵均可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。
• ​矩阵分解​：可逆矩阵 $A$ 可表示为有限个初等矩阵的乘积，即 $A=P_1{P}_2\cdots P_k$。
• ​秩的不变性​：初等变换不改变矩阵的秩。

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考点四：矩阵的秩常用结论

1. ​基本性质​

• $r(A)=r(A^T)$
• $r(kA)=r(A)$（$k\ne 0$）
• $r(A+B)\le r(A)+r(B)$
• 相似矩阵秩相等

2. ​分块矩阵秩​

• ​结论​：
  $$r\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)=r(A)+r(B)$$
• ​推论​：若 $A$ 可逆，则 $r(AB)=r(B)$；若 $B$ 可逆，则 $r(AB)=r(A)$。
• m a x { r ( A ) , r ( B ) } ≤ r ( A , B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) max\{r(A),r(B)\} \leq r(A,B) \leq r(A)+ r(B) max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)

3. ​矩阵乘积秩​

• r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)} 越乘秩越小
• 若 $A_{m\times n}{B}_{n\times l}=0$ 则有 $r(A)+r(B)\le n$

4. ​其他结论

• $r(A^{\ast })=$
  • $n$ 当 $r(A)=n$ 时；
  • $1$ 当 $r(A)=n-1$ 时；
  • $0$ 当 $r(A)<n-1$ 时；​

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五、实战技巧

1. ​矩阵幂计算​：优先判断是否可对角化，若不可对角化则尝试找递推规律。
2. ​逆矩阵验证​：验证 $A{A}^{-1}=E$ 或通过伴随矩阵公式计算。
3. ​秩的快速判断​：通过初等行变换化为阶梯形矩阵，非零行数即为秩。

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​总结​：矩阵的核心在于理解其结构特性（如幂、逆、秩）与变换工具（如初等变换、伴随矩阵）。掌握这些方法，可高效解决线性代数中的复杂问题！ 🚀
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