AtCoder AT_abc404_g [ABC404G] Specified Range Sums

前言

赛时想到了差分约束，随手写了个 SPFA 结果挂的很惨……还是太菜了，赛后 Bellman-Ford 又调了半天。

题目大意

给定整数 $N, M$ 和长度为 $M$ 的三个整数序列 $L=(L_1,L_2,\dots,L_M),R=(R_1,R_2,\dots,R_M),S=(S_1,S_2,\dots,S_M)$ 。请判断是否存在一个长度为 $N$ 的正整数序列 $A$ 满足 $\forall 1\le i\le M,\sum_{j=L_i}^{R_i}A_j=S_i$ 。如果存在输出序列所有元素之和的最小值，否则输出 -1。

思路

我们不妨令 $s_i$ 表示 $\sum_{j=1}^i A_i$ ，所以 $\forall 1\le i\le M,s_{R_i}-s_{L_i-1}=S_i$ 。很自然地想到差分约束（例题：洛谷 P1993 小 K 的农场），即利用最长路中如果 $x$ 向 $y$ 连一条边权为 $w$ 的边，那么满足 $y\ge x+w$ 的性质解不等式。

关于差分约束的详细内容本文不再过多讲解，请自行搜索学习。

本题显然要跑最长路。我们来想一想，都需要连哪些边：

$L_i-1\to R_i$ ，边权为 $S_i$ 。
$R_i\to L_i-1$ ，边权为 $S_i$ 。
$i-1\to i$ ，边权为 $1$ 。

所以，我们建了这样一张图，以 $0$ 为源点跑 Bellman-Ford 最长路即可。（注：作者赛时使用 SPFA 挂的很惨，如果您知道为什么这道题只能使用 Bellman-Ford 或者 SPFA 需要注意什么，可以在评论区中回复！）

那么答案就是 $s_n$ ，即 $0$ 到 $n$ 的最长路。

现在分析无解情况：

该图中存在负环情况。
$S_i<R_i-L_i+1$ 的时候也不满足条件。
$s_n$ 为负无穷。

代码

提交记录：这里。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;int n, m;
long long dis[5010];
int vis[5010];
int sum[5010];struct edge
{int x, y, w;
} ;vector<edge> e;void add(int x, int y, int w)
{e.push_back((edge){x, y, w});
}bool bellman_ford(int s)
{memset(dis, -0x3f, sizeof(dis));dis[s] = 0;for (int i = 0; i <= n; i++){bool flag = false;for (int j = 0; j < e.size(); j++){int x = e[j].x;int y = e[j].y;int w = e[j].w;if (dis[x] >= -1e17 && dis[y] < dis[x] + w){dis[y] = dis[x] + w;flag = true;}}if (!flag) return false;}return true;
}int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++){int u, v, w;cin >> u >> v >> w;if (w < v - u + 1){cout << "-1" << endl;return 0;}int t = w - (v - u + 1);add(v, u - 1, -w);add(u - 1, v, w);
//		cout << u - 1 << " " << v << endl;}for (int i = 1; i <= n; i++)add(i - 1, i, 1);if (bellman_ford(0) || dis[n] <= -1e17)cout << "-1" << endl;else{
//		for (int i = 0; i <= n; i++)
//			cout << dis[i] << " ";
//		cout << endl; long long minn = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)minn = min(minn, dis[i]);cout << dis[n] << endl;}return 0;
}