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前言

第一节课的后半段其实就是一个马尔可夫的实际案例教学，我这里在网上找到一个合适案例进行学习，cs234 的课程感觉有点空。

7 markov 实践

7.1 markov 过程再叙

markov 过程就是一个状态转移过程，且该当前状态只和上一个状态有关，和历史无关。
即：$P(s_t|s_{t-1})=P(s_t|s_{t-1},s_{t-2},s_{t-3},...,s_n)$

markov 状态转移矩阵：
$$P=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}{p}_{s_1|s_1}& p_{s_2|s_1}& ...& p_{s_n|s_1}\\ p_{s_2|s_1}& p_{s_2|s_2}& ...& p_{s_n|s_2}\\ ...& & & \\ p_{s_1|s_n}& p_{s_2|s_n}& ...& p_{s_n|s_n}\end{array}\right]\end{array}$$
矩阵中的 第i行第j列表示状态$s_i$ 到 $s_j$ 的概率$p(s_i|s_j)=p(s_{t+1}=s_j|s_t=s_i)$。称
$P(s^{\prime }|s)$ 为转移函数。这里要求 从某个状态到其他所有状态的概率和必须为1， 即P矩阵每行概率和为1

如果我们按照满足markov 性，根据状态转移矩阵，得到一个状态转移序列
s1->s1->s2->s3->s4->s5->s6 那么就得到了一个markov chain 即马尔可夫链。

7.2 markov 奖励过程 MRP（markov reward process）

马尔可夫奖励过程是 [S, P r, $\gamma$]
S：状态集合
P：状态转移矩阵
r ： reward
$\gamma$：discount factor

为什么要奖励（reward）？
（1）一个稳定的世界需要反馈，合理的反馈可以让我们趋于一个稳定。
因此引入奖励机制。我们将奖励机制和markov 过程结合，那么有
（2）我们针对不同场景，有不同的回报，因此奖励机制可以调整我们如何适应变化的环境。

为什么要折扣（discount factor）
（1）一个马尔可夫过程是有可能出现闭环，如果无限循环下去，那么奖励就有可能无限累加，要避免这种奖励因子不断累加，那么就需要折扣。在想想这句古话：一股做气，再而衰，三而竭。这不就是折扣因子么。
（2）有时候我们需要近期的效果，那么我们会将长远利益打一些折扣。相反，我们关注长远利益时，需要近期利益打折扣

将reward 和 discount factor 结合得到回报（Return）
$G_t=R_t+\gamma \ast R_{t+1}+{\gamma }^2\ast R_{t+2}+...={\sum }_{k=0}^{\infty }{\gamma }^k{R}_{t+k}$

7.3 markov 价值函数与贝尔曼方程

价值（value）：一个状态的期望回报，即从这个状态出发的未来累积奖励的期望值，被称为这个状态的价值:

$$\begin{gathered} V(s) \\ =E[R_t+\gamma \ast R_{t+1}+{\gamma }^2\ast R_{t+2}+...|s=s_t] \\ =E[R_t+\gamma (R_{t+1}+\gamma \ast R_{t+2}+...|s=s_t)] \\ =E[R_t+\gamma G(s=s_{t+1}|s=s_t)] \\ =E[R_t+\gamma G_{t+1}|s=s_t] \\ =E[R_t|s_t]+E\gamma G_{t+1}|s_t \\ =r(s)+\gamma V_{t+1}|s=s_t \\ =r(s)+\gamma \sum p(s_{t+1}|s_t)V_{t+1}，注：我第一遍推成r(s)+\gamma \sum p(s_{t+1}|s_t)V_t，导致后面直接推不下去了 \\ =r(s)+\gamma \sum p(s^{\prime }|s)V(s^{\prime }),s^{\prime }\in S \\ =贝尔曼方程（BellmanEquation） \end{gathered}$$

于是我们不难得到：
当s’= s1的时候：
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}V(s_1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r(s_1)\end{array}\right]+\gamma \left[\begin{array}{cccc}{p}_{s_1|s_1}& p_{s_2|s_1}& ...& p_{s_n|s_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}V(s1)\\ V(s2)\\ ...\\ V(sn)\end{array}\right]\end{array}$$
当s’=s2的时候：
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}V(s_2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r(s_2)\end{array}\right]+\gamma \left[\begin{array}{cccc}{p}_{s_1|s_2}& p_{s_2|s_2}& ...& p_{s_n|s_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}V(s1)\\ V(s2)\\ ...\\ V(sn)\end{array}\right]\end{array}$$

接下来，我们写成矩阵形式：

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}V(s1)\\ V(s2)\\ ...\\ V(sn)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r(s1)\\ r(s2)\\ ...\\ r(sn)\end{array}\right]+\gamma \left[\begin{array}{cccc}{p}_{s_1|s_1}& p_{s_2|s_1}& ...& p_{s_n|s_1}\\ p_{s_2|s_1}& p_{s_2|s_2}& ...& p_{s_n|s_2}\\ ...& & & \\ p_{s_1|s_n}& p_{s_2|s_n}& ...& p_{s_n|s_n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}V(s1)\\ V(s2)\\ ...\\ V(sn)\end{array}\right]\end{array}$$

于是就得到：
$V=R+\gamma PV$
$V-\gamma PV=R$
$(I-\gamma P)V=R$
$V=(I-\gamma P{)}^{-1}R$

按照以往计算经验，这个矩阵解起来巨麻烦，所以会用 动态规划(dynamic programming)、 **蒙特卡罗(模拟特-Carlo method)**方法 或 时序差分（temporal difference）

7.4 markov 决策过程MDP（markov decision process）的 状态价值函数

7.4.1 状态价值函数

智能体（agent）的策略（Policy）通常用$\pi$表示。策略$\pi (a|s)=P(A_t=a|S_t=s)$是一个函数，表示在s状态下采取a动作的概率。当一个策略是确定性策略(deterministic policy)的时候，那么智能体在每个状态只输出一个确定动作。
当智能体的策略是随机测策略（stochastic policy）时，那么这个函数输出的是关于动作的概率分布。

状态价值函数:
我们用$V^{\pi }(s)$表示在MDP基于测率$\pi$策略得到的价值函数期望：
$V^{\pi }(s)=E_{\pi }[G_t|S_t=s]$，
我这里专门推敲了下：$V^{\pi }$和 V 是一回事，只是为了讲名是什么策略，因此加了$\pi$，即乘以一个概率。

7.4.2 状态价值函数的 贝尔曼期望方程（Bellman Expectation Equation）

根据上面贝尔曼方程算$V(s)$：
$V(s)=r(s)+\gamma \sum p(s^{\prime }|s)V(s^{\prime }),s^{\prime }\in S$
当我们要将在那个策略下时，不难得到:
$$\begin{gathered} V^{\pi }(s)=E_{\pi }[G_t|S_t=s] \\ =\sum \pi (a|s)[r(s)+\gamma \sum p(s^{\prime }|s)V(s^{\prime })],s^{\prime }\in S \end{gathered}$$——因为需要策略$\pi$得概率，因此需要乘以$\pi$

$V^{\pi }(s)=r(s,a)+\gamma {\sum }_{s^{\prime }\in S}p(s^{\prime }|s,a){\sum }_{a^{\prime }\in A}\pi (a|s^{\prime })Q^{\pi }(s^{\prime }，a^{\prime })$

7.5 markov 决策过程MDP（markov decision process）的 动作价值函数

markov 决策过程MDP（markov decision process）—— 动作价值函数

7.5.1 动作价值函数

不同于MRP，在MDP过程中，由于动作的存在，额外定义一个动作价值函数（action-value function）。用$Q^{\pi }$ 表示，在s 状态下，执行动作a的得到的期望：
$Q^{\pi }(s,a)=E_{\pi }[G_t|S_t=s,A_t=a]$ 。说实话我这里被定义给搞晕了，因此我理解这里就是不需要乘以$\pi (a|s)$

7.5.2 动作价值函数和状态价值函数

所以得到$V^{\pi }$和$Q^{\pi }$的关系：

（1）$V^{\pi }(s)={\sum }_{a\in A}\pi (a|s)Q^{\pi }(s,a)$
这个式子描述的是：使用策略$\pi$, 状态 s的价值期望，等于动作价值函数乘以发生动作概率的乘积的总和。这里是动作未发生，需要乘上动作的概率和动作的价值

（2）$Q^{\pi }(s,a)=r(s,a)+\gamma \sum P(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime })$
使用策略$\pi$时，状态s下采取a动作后的价值期望 等于 当下的奖励加上 经过$\gamma$衰减之后的所有状态状态转移概率与相应价值的乘积。
这里是动作已经确定，但是状态不确定，因此乘的是状态转移矩阵和状态

也就是说状态与状态之间不再是单纯的转移，还有动作的这个价值反馈加进去。

7.5.3 动作价值函数的贝尔曼期望等式

根据定义：
$Q^{\pi }(s,a)=r(s,a)+\gamma {\sum }_{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime })$

又因为：
$V^{\pi }(s)={\sum }_{a\in A}\pi (a|s)Q^{\pi }(s,a)$
那么：
$V^{\pi }(s^{\prime })={\sum }_{a\in A}\pi (a|s^{\prime })Q^{\pi }(s^{\prime },a)$
上面的式子可以再变个型，带入后：
$$\begin{gathered} Q^{\pi }(s,a)=r(s,a)+\gamma {\sum }_{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)V^{\pi }(s^{\prime }) \\ =r(s,a)+\gamma {\sum }_{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a){\sum }_{a\in A}\pi (a|s^{\prime })Q^{\pi }(s^{\prime },a) \end{gathered}$$
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动作价值函数和状态价值函数的贝尔曼方程很常见，所以我这里推敲了下。
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7.6 动作价值和状态价值例子

图中的
（1）虚线表示动作到状态
（2）图中的实现表示从当前状态开始当前动作
（3）红色的数字是标记状态奖励
（4）没有标记数字的线表示概率为1,如果标记了表示对应概率。

7.6.1 边缘化（marginalization)，就

这里有个一般的计算MDP的方法，就是将测率的动作边缘化:
(1) 得到一个没有动作的mrp。即对于某个状态，我跟将根据动作策略进行加权，就得到r’(s)是该状态下的奖励：
$s^{\prime }={\sum }_{a\in A}\pi (a|s)r(s,a)$

(2)同理，将计算采取动作的概率$\pi$与 将s转移到s’转移矩阵进行相乘再累加，就得到一个MRP的从s转移到s‘的转移概率。

这样的做法有如下好处：
简化问题结构
MDP 涉及状态和动作两层结构，分析和求解复杂。而给定策略后，动作选择就变成确定的概率分布，这时只剩下状态和状态之间的转移（+奖励）——正好就是 MRP 的结构。
MRP 更容易求解
MRP 没有动作维度，可以直接用线性代数（比如矩阵解法或贝尔曼方程迭代）来求解状态值函数 𝑉(𝑠)非常方便。

这个方法是*给定策略下的通用方法。 如果你要做最优策略求解（如值迭代、Q-learning），那就不能只转成 MRP，因为你需要在每一步决策中“寻找最优动作”，那就是另一套框架了（比如 Bellman Optimality Equation）。

实践代码如下：

import numpy as npdef join(str1, str2):return str1 + '-' + str2# markov_chain is a list that save the index of state 
# for example:s1->s1->s2->s3->s4->s5->s6 
# start_index: the start index for markov_chain, not the state index.
def get_return(start_index, markov_chain, rewards, gamma):G_t = 0# >>>>>>> the code is very tricky but effective! <<<<<<<for idx in reversed(range(start_index, len(markov_chain))):# the state index is start at 1 end in 6, so when we use the idx we need to minus 1G_t = gamma * G_t + rewards[markov_chain[idx] - 1]return G_tdef get_value(p_matrix, rewards, gamma):states_amount = len(rewards)rewards = np.array(rewards)rewards = rewards.reshape((-1, 1))value = np.dot(np.linalg.inv(np.eye(states_amount, states_amount) - gamma * p_matrix), rewards)return valuedef mrp_test():np.random.seed(0)p = [[0.8, 0.1, 0.1, 0.0, 0.0, 0.0],[0.0, 0.2, 0.5, 0.3, 0.0, 0.0],[0.0, 0.0, 0.5, 0.5, 0.0, 0.0],[0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.3, 0.3],[0.2, 0.5, 0.1, 0.0, 0.1, 0.1],[0.0, 0.0, 0.2, 0.3, 0.4, 0.1],]p = np.array(p)# fist to checkt if the sum of each row is 1.0H, W = p.shapefor h in range(H):sum_h = np.sum(p[h,:])# for float compoare we can not suppose it will be exactly 1.0 actually is 0.999999999....if sum_h < 0.9999999 or sum_h > 1.0: print("error in line:" + str(h) + " sum:" + str(sum_h))exit()#          s1, s2, s3, s4, s5, s6rewards = [-1, -2,  0,  1,  2,  4] gamma = 0.7markov_chain = [1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1]# get the return for agentG_t = get_return(0, markov_chain, rewards, gamma)# get the value for agentV_t = get_value(p, rewards, gamma)print(">>> markov finish!")def mdp_test():states = ["s1", "s2", "s3", "s4", "s5", "s6"]actions = ["hold_s1", "arrival_s2","arrival_s3","arrival_s4", "arrival_s5", "arrival_s6", "stochastic_arrival"]p = {"s1-hold_s1-s1": 1.0,"s1-arrival_s2-s2": 1.0,"s2-arrival_s1-s1": 1.0,"s2-arrival_s3-s3": 1.0,"s3-arrival_s4-s4": 1.0,"s3-arrival_s6-s6": 1.0,"s4-arrival_s5-s5": 1.0,"s5-arrival_s6-s6": 1.0,"s4-stochastic_arrival_s2": 0.2,"s4-stochastic_arrival_s3": 0.3,"s4-stochastic_arrival_s4": 0.5,}rewards = {"s1-hold_s1":   -1,"s1-arrival_s2": 0,"s2-arrival_s1":-1,"s2-arrival_s3":-2,"s3-arrival_s4":-2,"s3-arrival_s6": 7,"s4-arrival_s5": 2,"s5-arrival_s6": 8,"s4-stochastic_arrival_s2": 1,"s4-stochastic_arrival_s3": 1,"s4-stochastic_arrival_s4": 1 }gamma = 0.5mdp = (states, actions, p, gamma)pi_1 = {"s1-hold_s1": 0.5,"s1-arrival_s2": 0.5,"s2-arrival_s1": 0.5,"s2-arrival_s3": 0.5,"s3-arrival_s4": 0.5,"s3-arrival_s5": 0.5,"s4-arrival_s5": 0.5,"s4-stochastic_arrival": 0.5,} pi_2 = {"s1-hold_s1": 0.6,"s1-arrival_s2": 0.4,"s2-arrival_s1": 0.3,"s2-arrival_s3": 0.7,"s3-arrival_s4": 0.5,"s3-arrival_s5": 0.5,"s4-arrival_s5": 0.1,"s4-stochastic_arrival": 0.9,} # 转化后的MRP的状态转移矩阵p_mdp2mrp_pi_1 = [# s1, s2,  s3,  s4,  s5,  s6[1.0 * 0.5, 1.0 * 0.5, 0.0,       0.0,       0.0,       0.0      ],[1.0 * 0.5, 0.0,       1.0 * 0.5, 0.0,       0.0,       0.0      ],[0.0,       0.0,       0.0,       1.0 * 0.5, 0.0,       1.0 * 0.5],[0.0,       0.2 * 0.5, 0.3 * 0.5, 0.5,       1.0 * 0.5, 0.0      ],[0.0,       0.0,       0.0,       0.0,       0.0,       1.0 * 0.5],[0.0,       0.0,       0.0,       0.0,       0.0,       1.0      ],]p_mdp2mrp_pi_1 = np.array(p_mdp2mrp_pi_1)R_mdp2mrp_pi_1 = [-1 * 0.5, -1 * 0.5 + -2 * 0.5,7 * 0.5 + -2 * 0.5,2 * 0.5 +  1 * 0.5, 8 * 0.5,0]# get the  mrp base on mdpv = get_value(p_mdp2mrp_pi_1, R_mdp2mrp_pi_1, gamma)print("mdp v=" + str(v))print("mdp finish!")if __name__ == "__main__":#mrp_test()mdp_test()

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