线性dp

数字三角形

P1216 数字三角形 - 洛谷

题目

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

思路

每个数字只能有上方，左上，数字递推而来。最后计算最底层最大值。

int a[1100][1100],f[1100][1100];
void solve()
{int n;cin>>n;fir(i,1,n)fir(j,1,i){cin>>a[i][j];}fir(i,1,n){fir(j,1,i)f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j];}int mx=0;fir(i,1,n)mx=max(f[n][i],mx);cout<<mx<<'\n';
}

• 那如果向左和向右移动次数相差不能大于1，最大值又是多少了？

  易知，当n为偶数，最后一层落在的点一定在n/2或n/2+1.而n为奇数时，最后一层落在的点一定在n/2+1

LIS（最长上升子序列）

例题

B3637 最长上升子序列 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

数组f【i】，用来存储以a【i】作末尾的上升子序列长度。

代码（n^2）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000050],f[100050];
int main()
{int n,ans=1;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]; fill(f,f+n+2,1);//初始化for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<i;j++){if(a[j]<a[i])//递增f[i]=max(f[i],f[j]+1);}ans=max(ans,f[i]);}cout<<ans<<'\n';
}

二分优化（nlogn）

维和一个数组b,存放上升子序列。 其中 b[i]表示长度为 i 的上升子序列的最小末尾元素。

从前往后遍历数组a

• a[i]>b[len]末尾元素,b[++len]=a[i]
• a[i]<=b[len],用a[i] 替换b数组第一个>=a[i]的元素

最终b数组的长度便是答案

用vector和lower_bound实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1000050];
int main()
{cin>>n;vector<int> d;for(int i=0;i<n;i++){    cin>>a[i];auto it=lower_bound(d.begin(),d.end(),a[i]);if(it==d.end())d.push_back(a[i]);else *it=a[i];}cout<<d.size();
}

LCS(最长公共子序列)

这个视频讲的不错E05 线性DP 最长公共子序列，本文思路节选于此视频

例题

U165581 最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS） - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

设 f[i][j] 表示序列 a[1...i] 和 b[1...j] 的最长公共子序列长度。

现在判断末尾元素 a[i] 与 b[j] 是否在公共子序列中：

1. 若 a[i] = b[j]：
   • 则 a[i] 与 b[j] 在公共子序列中。
   • 递推关系：f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1
2. 若 a[i] ≠ b[j]，且 a[i] 不在公共子序列中：
   • 则可去掉 a[i]。
   • 递推关系：f[i][j] = f[i-1][j]
3. 若 a[i] ≠ b[j]，且 b[j] 不在公共子序列中：
   • 则可去掉 b[j]。
   • 递推关系：f[i][j] = f[i][j-1]

状态转移方程：

$$f[i][j]=\{\begin{array}{ll}f[i-1][j-1]+1,& \text{若 }a[i]=b[j]\\ \max (f[i-1][j],f[i][j-1]),& \text{若 }a[i]\ne b[j]\end{array}$$
边界条件：

$f[0][j]=0;f[i][0]=0;$

代码

int n,f[N][N];
int main()
{   string a,b;cin>>a>>b;for(int i=0;i<a.size();i++)for(int j=0;j<b.size();j++){if(a[i]==b[j])f[i+1][j+1]=f[i][j]+1;elsef[i+1][j+1]=max(f[i][j+1],f[i+1][j]);}cout<<f[a.size()][b.size()];
}

LCS——>>LIS

例题

P1439 【模板】最长公共子序列 - 洛谷

思路

此题特殊之处在于：全排列

数据范围大，N^2不行

既然两个数组都是1-n的全排列，那么可以用一个新的数组c存放b[i]在数组a中的位置，只有c中递增的子序列才可构成a,b的公共子序列。这样题目就转化为求最长上升子序列了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,a[N],b[N],c[N];
int main()
{   cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];b[a[i]]=i;//哈希}for(int i=1;i<=n;i++){ int x;cin>>x;c[i]=b[x];//LCS——>LIS}vector<int> v;//二分优化的最长上升子序列for(int i=1;i<=n;i++){auto it=lower_bound(v.begin(),v.end(),c[i]);if(it==v.end()) v.push_back(c[i]);else *it=c[i];}cout<<v.size(); 
}

最长公共子串

• 公共子串：字符必须是连续相等的

• 公共子序列：字符必须是相等的，可以不连续

  设 f[i][j] 表示序列 a[1...i] 和 b[1...j] 的最长公共子串长度。

与最长公共子序列类似，递推公式有所不同。
$$f[i][j]=\{\begin{array}{ll}f[i-1][j-1]+1,& \text{若 }a[i]=b[j]\\ 0，& \text{若 }a[i]\ne b[j]\end{array}$$
最长公共子串不一定是以n,m结尾的，需要比较出最大值。

最长公共上升子序列（LCIS）

这是LIS和LCS的结合。

动态规划状态转移

1. 初始化：我们初始化一个二维数组 f，大小为 (n+1) x (n+1)，并将所有元素初始化为 0。这里 n 是序列 A 和 B 的长度。

2. 状态转移：

   首先判断公共子序列中是否包含a[i]

   • 不包含a [i]的子集，最大值是f[i-1] [j]

   • 包含a[i] 的子集，将这个子集继续划分,依据是子序列的倒数第二个元素在b[]中是哪个数（也就是由谁递推而来）

     所以需要一个mx，来记录在当前 i 的条件下，满足 a[i] > b[k] 的 f[i - 1][k] + 1 的前缀最大值。

3. 优化：为了提高效率，我们可以在遍历 j 的过程中维护一个最大值 mx，表示在当前 i 的情况下，所有 f [i-1] [k] 的最大值，其中 k < j 且 B[k] < A[i]。这样，我们就可以在 O(1) 的时间更新 f[i][j]。

• f[i][j] 表示所有 a[1 ~ i] 和 b[1 ~ j] 中以 b[j] 结尾的公共上升子序列的长度最大值。
• mx 用于记录在当前 i 的条件下，满足 a[i] > b[k] 的 f[i - 1][k] + 1 的前缀最大值。
• 下面代码是一维优化后的代码

int a[3050],b[3050],f[3050];
void solve()
{int n,mx;cin>>n;fir(i,1,n)cin>>a[i];fir(i,1,n)cin>>b[i];fir(i,1,n)//只看前i个{mx=1;fir(j,1,n){if(a[i]==b[j]) f[j]=max(f[j],mx);if(a[i]>b[j]) mx=max(mx,f[j]+1);}}mx=0;fir(i,1,n)mx=max(f[i],mx);cout<<mx<<'\n';
}