以下是公式一推导出公式二的过程。
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表达式一
∂ E ∂ w j k = − 2 ( t k − o k ) ⋅ sigmoid ( ∑ j w j k ⋅ o j ) ⋅ ( 1 − sigmoid ( ∑ j w j k ⋅ o j ) ) ⋅ ∂ ∂ w j k ( ∑ j w j k ⋅ o j ) \frac{\partial E}{\partial w_{jk}} = -2(t_k - o_k) \cdot \text{sigmoid}\left(\sum_j w_{jk} \cdot o_j\right) \cdot (1 - \text{sigmoid}\left(\sum_j w_{jk} \cdot o_j\right)) \cdot \frac{\partial}{\partial w_{jk}} \left(\sum_j w_{jk} \cdot o_j\right) ∂wjk∂E=−2(tk−ok)⋅sigmoid(j∑wjk⋅oj)⋅(1−sigmoid(j∑wjk⋅oj))⋅∂wjk∂(j∑wjk⋅oj) -
表达式二
∂ E ∂ w j k = − 2 ( t k − o k ) ⋅ sigmoid ( ∑ j w j k ⋅ o j ) ⋅ ( 1 − sigmoid ( ∑ j w j k ⋅ o j ) ) ⋅ o j \frac{\partial E}{\partial w_{jk}} = -2(t_k - o_k) \cdot \text{sigmoid}\left(\sum_j w_{jk} \cdot o_j\right) \cdot (1 - \text{sigmoid}\left(\sum_j w_{jk} \cdot o_j\right)) \cdot o_j ∂wjk∂E=−2(tk−ok)⋅sigmoid(j∑wjk⋅oj)⋅(1−sigmoid(j∑wjk⋅oj))⋅oj
这是一个关于神经网络中梯度计算的推导问题，主要运用了链式法则来进行求导推导，以下是详细过程：
已知条件
已知要对 ∂ E ∂ w j , k \frac{\partial E}{\partial w_{j,k}} ∂wj,k∂E 进行求导，表达式最初形式为：
∂ E ∂ w j , k = − 2 ( t k − o k ) ⋅ sigmoid ( ∑ j w j , k ⋅ o j ) ( 1 − sigmoid ( ∑ j w j , k ⋅ o j ) ) ⋅ ∂ ( ∑ j w j , k ⋅ o j ) ∂ w j , k \frac{\partial E}{\partial w_{j,k}} = -2(t_{k} - o_{k}) \cdot \text{sigmoid}(\sum_{j} w_{j,k} \cdot o_{j})(1 - \text{sigmoid}(\sum_{j} w_{j,k} \cdot o_{j})) \cdot \frac{\partial (\sum_{j} w_{j,k} \cdot o_{j})}{\partial w_{j,k}} ∂wj,k∂E=−2(tk−ok)⋅sigmoid(j∑wj,k⋅oj)(1−sigmoid(j∑wj,k⋅oj))⋅∂wj,k∂(∑jwj,k⋅oj)
这里 E E E 通常表示误差， t k t_{k} tk 是目标值， o k o_{k} ok 是输出值， w j , k w_{j,k} wj,k 是权重， o j o_{j} oj 是前一层神经元的输出， sigmoid \text{sigmoid} sigmoid 是激活函数。
推导过程
- 重点关注 ∂ ( ∑ j w j , k ⋅ o j ) ∂ w j , k \frac{\partial (\sum_{j} w_{j,k} \cdot o_{j})}{\partial w_{j,k}} ∂wj,k∂(∑jwj,k⋅oj) 这一项。
- 根据求和求导的性质，对于 ∑ j w j , k ⋅ o j \sum_{j} w_{j,k} \cdot o_{j} ∑jwj,k⋅oj，因为只有当 j j j 取特定值时， w j , k w_{j,k} wj,k 才是变量（其他项的 w i , k w_{i,k} wi,k 中 i ≠ j i \neq j i=j 对于当前求导来说是常量）。
- 那么 ∑ j w j , k ⋅ o j \sum_{j} w_{j,k} \cdot o_{j} ∑jwj,k⋅oj 展开后，对 w j , k w_{j,k} wj,k 求导时，除了包含 w j , k w_{j,k} wj,k 的这一项，其他项都为 0（因为它们相对于 w j , k w_{j,k} wj,k 是常数）。
- 而包含 w j , k w_{j,k} wj,k 的这一项为 w j , k ⋅ o j w_{j,k} \cdot o_{j} wj,k⋅oj，根据求导公式 ( a x ) ′ = a (ax)^\prime = a (ax)′=a（ a a a 为常数， x x x 为变量），对 w j , k ⋅ o j w_{j,k} \cdot o_{j} wj,k⋅oj 关于 w j , k w_{j,k} wj,k 求导，结果就是 o j o_{j} oj。
- 将 ∂ ( ∑ j w j , k ⋅ o j ) ∂ w j , k = o j \frac{\partial (\sum_{j} w_{j,k} \cdot o_{j})}{\partial w_{j,k}} = o_{j} ∂wj,k∂(∑jwj,k⋅oj)=oj 代入原式，就得到了第二个表达式：
∂ E ∂ w j , k = − 2 ( t k − o k ) ⋅ sigmoid ( ∑ j w j , k ⋅ o j ) ( 1 − sigmoid ( ∑ j w j , k ⋅ o j ) ) ⋅ o j \frac{\partial E}{\partial w_{j,k}} = -2(t_{k} - o_{k}) \cdot \text{sigmoid}(\sum_{j} w_{j,k} \cdot o_{j})(1 - \text{sigmoid}(\sum_{j} w_{j,k} \cdot o_{j})) \cdot o_{j} ∂wj,k∂E=−2(tk−ok)⋅sigmoid(j∑wj,k⋅oj)(1−sigmoid(j∑wj,k⋅oj))⋅oj
综上，通过对 ∂ ( ∑ j w j , k ⋅ o j ) ∂ w j , k \frac{\partial (\sum_{j} w_{j,k} \cdot o_{j})}{\partial w_{j,k}} ∂wj,k∂(∑jwj,k⋅oj) 进行求导并代入原式，就从第一个表达式推导出了第二个表达式。
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