1. 解Ax=b

求解
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+2x_3+2x_4=b_1\\ 2x_1+4x_2+6x_3+8x_4=b_2\\ 3x_1+6x_2+8x_3+10x_4=b_3\end{array}$$
消元
$$\begin{array}{rlr}\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccccc}\boxed{1}& 2& 2& 2& b_1\\ 2& 4& 6& 8& b_2\\ 3& 6& 8& 10& b_3\end{array}\right]}}& \underset{ro{w}_3-3ro{w}_1}{\overset{ro{w}_2-2ro{w}_1}{\Rightarrow }}\left[\begin{array}{ccccc}\boxed{1}& 2& 2& 2& b_1\\ 0& 0& \boxed{2}& 4& b_2-2b_1\\ 0& 0& 2& 4& b_3-3b_1\end{array}\right]& \\ & \underset{行阶梯形式}{\overset{ro{w}_3-ro{w}_2}{\Rightarrow }}\underset{\text{[主列|自由列|主列|自由列|b]}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccccc}\boxed{1}& 2& 2& 2& b_1\\ 0& 0& \boxed{2}& 4& b_2-2b_1\\ 0& 0& 0& 0& b_3-3b_1-b_2+2b_1\end{array}\right]}}& \\ & \stackrel{设b_1=1,b_2=5,b3=6}{\Rightarrow }\left[\begin{array}{ccccc}\boxed{1}& 2& 2& 2& 1\\ 0& 0& \boxed{2}& 4& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]& \end{array}$$

$Ax=b\Rightarrow \{\begin{array}{l}A{x}_p=b\\ A{x}_n=0\end{array}\Rightarrow A(x_p+x_n)=b$ ，其中 称$x_p$为特解，$x_n$解的零空间

求特解$x_p$

令所有自由变量=0，求Ax=b中的主变量
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_3=1\\ 2x_3=3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=-2\\ x_3=\frac{3}{2}\end{array}$$
即特解$x_p=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]$

求特解$x_n$

求$A{x}_n=0$，详见7.【线性代数】——求解Ax=0，主列和自由列
$$x_n=c\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$$

所有解

$$x_n=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$$

2. Ax=b什么时候有解

当且仅当 b在C(A)中

3. $A_{m\ast n}$不同秩的Ax=b解分析

R矩阵表示A矩阵经过消元和简化行阶梯形式的矩阵。

3.1 列满秩 r=n<m

推出$R=\left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right]$,没有自由变量，也就没有零空间的解，那么$x=x_p$，如果解存在，解唯一。所以有0/1个解。

3.2 行满秩 r=m<n

推出$R=\left[\begin{array}{c}I\\ F\end{array}\right]$,有自由变量n-m，有零空间的解，所以有无数个解。

3.3 r=m=n

推出$R=I$,没有自由变量，也就没有零空间的解，那么$x=x_p$。
解肯定存在，因为$R=I$，所以有1个解

3.4 r<m 且 r < n

推出$R=\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]$,有自由变量，有零空间的解，如果有特解，那么有无穷解，否则无解。所以有无穷解或者无解。

3.5 综述

矩阵的秩 $r$	r=n<m	r=m<n	r=m=n	r<m,r<n
矩阵R	$\left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}I& F\end{array}\right]$	$I$	$\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]$
Ax=b解的个数	0/1	无穷	1	无解或者无穷